• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2018/2019

Алгебра

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Прикладная математика и информатика)
Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 2-й курс, 1 модуль
Формат изучения: Full time
Преподаватели: Антипов Михаил Александрович, Афанасьева Софья Сергеевна, Чепуркин Константин Михайлович
Язык: русский
Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина базовой части профессионального цикла. Целью освоения дисциплины является ознакомление слушателей с основными структурами современной алгебры. В рамках курса слушатели изучают основы теории групп, а также кольца и поля. В результате освоения дисциплины студент должен: знать:  основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля; освоить алгоритмические аспекты современной алгебры; уметь:  производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы в прикладных задачах; владеть:  навыками работы с конечными группами и конечными полями, овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью освоения дисциплины «Алгебра» является формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по основам теории чисел, теории колец, теории делимости, в частности, делимости целых чисел, делимости многочленов, а так же базовым применениям этих теорий для решения задач криптографии, построения кодов, исправляющих ошибки и других алгоритмических вопросах.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знает основные понятия и факты теории колец и делимости, такие, как кольцо, поле, фактор кольца по идеалу, кольцо многочленов, теорема о делении с остатком, линейное разложение наибольшего общего делителя, первообразный корень из единицы, китайская теорема об остатках, разложение дробно-рациональной функции в сумму простейших, основная теорема арифметики в кольце многочленов над полем, строение конечных полей, протокол шифрования RSA, коды БЧХ.
  • Уметь находить линейное разложение наибольшего общего делителя целых чисел и многочленов, находить явно класс обратного элемента в кольце вычетов по простому модулю, находить решения сравнений по составному модулю, владеть основными приёмами для проверки многочлена на неприводимость, иметь представление об алгоритмах разложения на множители.
  • Иметь навыки (приобрести опыт) обращения с основными алгебраическими объектами и конструкциями, уметь привести примеры таких объектов, знать основные идеи их практического применения.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Конечные поля и коды исправляющие ошибки. Базовые конструкции теории чисел
    Строение конечных полей, алгоритмы Берлекэмпа и Кантора-Цассенхауза, коды исправляющие ошибки, коды БЧХ. Базовые конструкции теории чисел. Арифметические функции. Производящие функции Дирихле. Свёртка Дирихле. Формула обращения Мёбиуса. Примеры использования.
  • Многочлены от многих переменных
    Лемма Гаусса, факториальность кольца многочленов от многих переменных над полем, критерии неприводимости для многочленов от одной переменной, способы разложения целочисленного многочлена на неприводимые множители. Симметрические многочлены, элементарные симметрические многочлены, основная теорема о симметрических многочленах, результант и дискриминант.
  • Основы теории колец
    Понятие кольца, поля, целые числа, делимость для целых чисел, общая теория делимости, понятие идеала, факторизация кольца по идеалу, область главных идеалов, основная теорема арифметики для области главных идеалов, китайская теорема об остатках для области главных идеалов, кольцо многочленов над полем, как область главных идеалов, цикличность конечной подгруппы мультипликативной группы поля, тесты на простоту, криптосистема RSA. Комплексные числа, тригонометрическая запись, корни из единицы, основная теорема алгебры(формулировка). Производная многочлена. Различные интерполяционные задачи для многочленов, дробно-рациональные функции, разложение дробно-рациональной функции в сумму простейших.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание No1
  • неблокирующий Домашнее задание No2
  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • блокирующий экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (1 модуль)
    0.16 * Домашнее задание No1 + 0.16 * Домашнее задание No2 + 0.18 * Контрольная работа 1 + 0.5 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. — Линейная алгебра и геометрия - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-1139-3 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2306
  • Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г.-ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-421-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-3588-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/lineynaya-algebra-425852
  • Шафаревич, И. Р. Линейная алгебра и геометрия [Электронный ресурс] / И. Р. Шафаревич, А. О. Ремизов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 512 с. - ISBN 978-5-9221-1139-3.

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Кнауб, Л. В. Теоретико-численные методы в криптографии [Электронный ресурс] : Учеб. пособие / Л. В. Кнауб, Е. А. Новиков, Ю. А. Шитов. - Красноярск : Сибирский федеральный университет, 2011. - 160 с. - ISBN 978-5-7638-2113-7.