• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2010/2011

Научно-исследовательский семинар "Симметрические функции, грассманианы, флаги"

Статус: Факультатив
Направление: 010100.62 Математика
Кто читает: Кафедра алгебры
Когда читается: 3-й курс, 1-4 модуль
Преподаватели: Городенцев Алексей Львович (автор и ведет семинары), Кириченко Валентина Алексеевна (ведет семинары)
Язык: русский
Кредиты: 4.5
Программа-максимум на весь год:
• Симметрические функции и перестановки: комбинаторика диаграмм и таблиц Юнга, многочлены Шура, правило Литтлвуда-Ричардсона, тождество Коши, детерминантальные тождества; Многочлены Шуберта. Приведённые диаграммы перестановок (pipe-dreams); теорема Кириллова-Фомина. Этот сюжет обращён ко всем студентам, начиная с первого курса. Он про многочлены от многих переменных, не меняющиеся при перестановке переменных (таковыми являются, например, элементарные симметрические многочлены), и красивый комбинаторный язык, делающий наглядными многие замечательные свойства этих многочленов. Кроме книги Фултона «Таблицы Юнга и их приложения в алгебре, геометрии и комбинаторике» на эту тему есть замечательная статья Данилов-Кошевой «Массивы и комбинаторика таблиц Юнга» (имеется в электронном виде у руководителей семинара)
• Гомологическая алгебра.
(а) категории и функторы, триангулированные пространства, симплициальные множества, симплициальные цепные комплексы и их (ко)гомологии, нерв. )
(б) диаграмный поиск, комплексы, гомотопии, циллиндр и конус морфизма комплексов, триангулированная структура на гомотопической категории комплексов, производные категории, производные функторы. )
Эти сюжеты могут быть трудноваты для первого курса, поскольку предполагают некоторый опыт работы с линейными отображениями векторных пространств и/или гомоморфизмами абелевых групп, но не исключено, что таковой опыт у кого-то уже есть и/или появится в ходе регулярных занятий алгеброй и геометрией за то время, пока на семинаре будет обсуждаться первый сюжет (на что уйдёт не меньше месяца или двух). Литература: Гельфанд, Манин. Методы гомологической алгебры, I
• Многообразие полных флагов. Клеточное разбиение Брюа. Циклы Шуберта.Формула Пьери-Шевалле. Кольцо когомологий грассманиана. Когомологии Бореля-Мура алгебраических многообразий и их вычисление для многообразий флагов. Эта деятельность рассчитана, главным образом, на магистров и наиболее продвинутых студентов и обусловлена наличием желающих с нею разбираться и делать доклады на эту тему. Содержательные алгебраические вычисления и ответы, которые в результате получаются, не выходят за рамки первого сюжета (для первого курса!), однако постановка вопросов и сведение этих вопросов к задачам о симметрических функциях и таблицам Юнга требует перелопачивания большого числа определений и примеров из топологии и/или алгебраической геометрии. Литература: Гриффитс, Харрис. «Принципы алгебраической геометрии», т.1 Фултон У. «Таблицы Юнга и их приложения в алгебре, геометрии и комбинаторике
• Геометрия многогранников и торическая геометрия. Этот сюжет - про многогранники с вершинами в узлах целочисленной решётки и связанными с этими многогранниками геометрическими и алгебраическими объектами – алгеброй Пухликова-Хованского и торическими многообразиями. Первое должно быть доступно первокурсникам (по модулю некоторого опыта работы с многомерными объектами), второе предполагает некоторый опыт из проективной геометрии (первый курс, модуль III) и геометрии алгебраических многообразий (можно попытаться приобрести его прямо на семинаре или на соответствующем спецкурсе, читаемом А.М.Левиным) Литература: Fulton. Introduction to toric varieties. Cox. New developments in toric geometry.