Математический анализ

Бакалавриат 2019/2020

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Информатика и вычислительная техника)

Направление: 09.03.01. Информатика и вычислительная техника

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Акбаров Сергей Саидмузафарович, Артамонов Сергей Юрьевич, Белова Мария Владимировна, Волкова Татьяна Викторовна, Гаращук Глеб Викторович, Дёмин Дмитрий Олегович, Жукова Лилия Фаилевна, Иванов Федор Ильич, Рабинович Александр Соломонович, Тарарушкин Евгений Викторович, Филиппова Лариса Евгеньевна

Язык: русский

Кредиты: 12

Контактные часы: 188

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Приобретенные при изучении дисциплины знания должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих курсов: • «Дифференциальные уравнения»; «Теория функций комплексного переменного»; «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов»; «Уравнения математической физики»; «Методы оптимизации»; «Исследование операций»; «Физика»; «Математическое моделирование»; «Численные методы»; «Теория управления»; «Случайные процессы и теория массового обслуживания». Формат изучения дисциплины: без использования онлайн курса.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных;
Приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования, формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать: основные понятия и результаты теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов, теории интегралов, зависящих от параметра, теории неявных функций и её приложений к задачам на условный экстремум, теории поля; основные теоремы и методы дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных.
Студент должен уметь: определять возможности применения теоретических положений и методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач; решать основные задачи на вычисление пределов функций, их дифференцирование и интегрирование, на вычисление интегралов, на разложение функций в ряды.
Студент должен иметь навыки использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

Предел последовательности.
Числовые последовательности. Конечный предел последовательности. Бесконечный предел последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции с пределами. Вычисление пределов. Теоремы о последовательностях: предельный переход в неравенствах, монотонные последовательности и теорема Вейерштрасса, теорема о вложенных отрезках, теорема Больцано-Вейерштрасса, критерий Коши сходимости последовательности. Десятичная запись вещественных чисел. Число Эйлера e.
Непрерывность функции и ее предел
Непрерывные функции. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность композиции. Теоремы о непрерывных функциях: теорема о сохранении знака, теорема Коши о промежуточном значении, теорема Вейерштрасса об ограниченности, теорема Вейерштрасса об экстремумах, теорема Кантора о равномерной непрерывности. Монотонные функции. Предел функции. Существование предела. Замена переменной под знаком предела. Связь между понятием предела и непрерывностью. Теорема о замене переменной под знаком предела. Арифметические операции над пределами. Критерий Коши существования предела функции. Язык ε-δ Коши. Определение предела функции по Коши. Равномерная непрерывность функции по Коши. Степенная функция. Показательная функция. Логарифм. Аксиома тригонометрии. Синус и косинус. Тангенс и котангенс. Обратные тригонометрические функции. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Вычисление пределов, принцип подстановки.
Производная функции одной переменной
Производная и дифференцируемость. Геометрический смысл производной. Наглядный смысл дифференцируемости. Производные элементарных функций. Арифметические действия с производными. Производная композиции. Классические теоремы о дифференцируемых функциях: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, теорема Коши об отношении приращений. Правило Лопиталя. Построение графика: монотонность и экстремум, выпуклость и перегиб, асимптоты. Формулы Тейлора. Теорема об остатке. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши. Дифференциал функции и запись формулы Тейлора с его помощью.
Интеграл
Первообразная. Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов. Разбиения отрезка. Определение определенного интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Ограниченность интегрируемой функции. Интегрируемость монотонной функции. Интегрируемость непрерывной функции. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл по ориентированному отрезку. Интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла: площадь правильной области на плоскости, площадь области, ограниченной параметризованной кривой, площадь области в полярных координатах, длина кривой, объем тела вращения, площадь поверхности вращения. Формула Стирлинга.
Несобственные интегралы
Несобственный интеграл по конечному промежутку. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку. Несобственные интегралы от степенной и показательной функций. Замена переменной в несобственном интеграле. Признаки сходимости несобственных интегралов: критерий сходимости знакоположительного интеграла, признак сравнения интегралов, критерий Коши сходимости несобственного интеграла, признак абсолютной сходимости, формула Бонне и признаки Дирихле и Абеля для интегралов. Асимптотическое сравнение интегралов. Интегрирование асимптотических формул. Нахождение асимптотики интегрированием по частям.
Числовые ряды
Числовые ряды. Арифметические свойства числовых рядов. Критерий сходимости знакоположительного ряда. Интегральный признак Коши и постоянная Эйлера. Признак сравнения рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признак абсолютной сходимости. Признак Лейбница. Преобразование Абеля и признаки Дирихле и Абеля для рядов. Асимптотическая эквивалентность рядов. Асимптотическое сравнение рядов. Связь с несобственными интегралами и формула суммирования Эйлера. Точное вычисление сумм.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши. Существование и единственность решения. Уравнения с разделяющимися переменным и с однородной правой частью, линейные уравнения. Задача Коши для общего дифференциального уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их свойства и методы решения. Метод Лагранжа (вариации постоянных).
Функциональные последовательности, ряды и аппроксимация
Функциональные последовательности и функциональные ряды. Поточечная сходимость. Область сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Необходимое условие равномерной сходимости ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Признак Лейбница равномерной сходимости. Признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости. Интегральная сходимость. Аппроксимация. Приближение интегрируемых функций. Приближение интегрируемой функции кусочно постоянными. Приближение интегрируемой функции непрерывными. Свертка. Аппроксимативная единица. Аппроксимация гладкими функциями. Аппроксимация алгебраическими многочленами. Аппроксимация тригонометрическими многочленами.
Степенные ряды
Степенные ряды. Лемма Абеля. Область сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Вычисление суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Сходящийся степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Достаточное условие сходимости ряда Тейлора. Стандартные разложения Маклорена.
Тригонометрические ряды
Тригонометрические ряды и ряд Фурье. Формулировка теорема о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном. Скалярное произведение функций. Ортогональность тригонометрической системы и связь скалярного произведения с коэффициентами Фурье. Минимальное свойство многочленов Фурье. Полнота тригонометрической системы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Доказательство теорема о сходимости ряда Фурье в среднем квадратичном.
Множества и их отображения. Действительные числа. Числовые функции.
Понятие множества. Понятие отображения. Знаки включения, объединения и пересечения. Логические символы. Аксиомы теории вещественных чисел. Числовые множества. Минимум и максимум числового множества. Нижняя и верхняя грани числового множества. Модуль и его свойства. Решение неравенств с модулем. Принцип математической индукции. Числовые функции. Ограниченные функции и точная грань функции на множестве. Монотонные функции.

Элементы контроля

Контрольная работа №1
Контрольная работа №2
Контрольная работа №3
Контрольная работа №4
Коллоквиум №1
Коллоквиум №2
Экзамен №1
Экзамен №2
Если, оценка и за третий, и за четвертый модули равна 4 и выше, то студент может не сдавать экзамен. В этом случае итоговая оценка вычисляется по правилу О(итог)=0.5*(О(модуль 3)+О(модуль 4)). Если же оценка за третий модуль или (и) за четвертый модуль меньше 4, то необходимо сдавать экзамен. Тогда итоговая оценка выставляется по формуле: О(итог)=0.5*(О(модули 3 и 4 )+О(экзамен)), где О(модули 3 и 4 )=0.5*(О(модуль 3)+О(модуль 4)). Экзамен проводится в письменной форме и содержит задачи по темам 3-4 модулей. Используется асинхронный прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf. Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Студентам необходимо заранее подготовить чистые листы бумаги, ручку и продумать способ сканирования/фотографирования работы и ее загрузки. Использование телефона/планшета для фотографирования работы разрешается. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), использовать любые материалы (конспекты, учебники, задачники, телефоны, планшеты и т.п.). Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене.
Аудиторная
Дистанционные проверочные работы
Аудиторная работа 2
Аудиторная работа 1

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
О(рез 1) = 0,15*О(Кр1)+0,15*О(Кр2) +0,1*О(Кол1) +0,1*О(Ауд1) +0,5*О(Экз1)
Промежуточная аттестация (4 модуль)
О(рез 2) = 0.25*О(Кр3)+0.2*О(Кол2)+0.05*О(Ауд2) +0.5* (Среднее арифметическое оценок за дистанционные проверочные работы)

Программа дисциплины