• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Линейная алгебра

Направление: 38.03.01. Экономика
Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ
Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Преподаватели: Машанова-Голикова Инна Антоновна, Хованская Ирина Аскольдовна, Щуров Илья Валерьевич
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение дисциплины «Линейная алгебра» базируется на следующих дисциплинах: • Не требуется никаких предварительных знаний сверх программы по математике в объеме средней школы. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы; • навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: • теория вероятностей и математическая статистика; • математический анализ; • эконометрика; • теория игр; • микроэкономика; • макроэнономика.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Цели освоения дисциплины «Линейная алгебра» состоят в обучении студентов основам линейной алгебры и ее приложений; развитие навыка работы с абстрактными понятиями, овладение теоретическим материалом, практическое значение которого в основном будет освоено позже, а также формирование у слушателей алгебраической интуиции
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Студент знает формулировку понятий "Матрицы" и "Системы линейных уравнений" и умеет интерпретировать эти понятия на простых модельных примерах.
  • Студент знает формулировку понятия "Определитель" и умеет делать построение определителя разложением по столбцу и вычисление определителя разложением по строке.
  • Студент знает определение понятия линейные пространства и следствия аксиом линейного пространства
  • Студент знает и умеет пользоваться основными принципами понятия Алгебра матриц.
  • Студент знает понятие Ранг матрицы и умеет пользоваться свойствами теоремы о Ранге матрицы.
  • Студент знаком со структурой множества решений системы линейных уравнений и умеет использовать свойства Теоремы Кронекера-Капелли и Теоремы о выборе главных и свободных неизвестных.
  • Студент знаком с понятием Линейные операторы и умеет интерпретировать это понятие на простых модельных примерах.
  • Студент понимает разницу между линейными, билинейными и квадратичными формами.
  • Студент знаком с элементами аналитической геометрии и умеет применять методы дисциплины при решении задач
  • Студент имеет представление о Евклидовых пространствах, знает неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника и умеет осуществлять геометрическую интерпретацию ортогональных матриц.
  • Студент понимает о сопряженности операторов в евклидовом пространстве и умеет применять методы линейной алгебры при решении задач.
  • Студент знает свойства Аффинных пространства и умеет ими пользоваться на практике.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Определитель
    Определитель и элементарные преобразования. Построение определителя разложением по столбцу. Определитель транспонированной матрицы. Вычисление определителя разложением по строке.
  • Линейные пространства
    Простейшие следствия аксиом линейного пространства. Подпространство линейного пространства. Простейшие свойства линейно зависимых векторов. Базис и координаты векторов. Существование базиса конечномерного пространства. Размерность линейного пространства.
  • Алгебра матриц
    Сумма матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Матричная запись системы уравнений. Свойства арифметических операций над матрицами. Обратная матрица и формулы Крамера. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Преобразование координат при замене базиса.
  • Структура множества решений системы линейных уравнений
    Векторная запись системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Структура множества решений системы линейных уравнений. Теорема о выборе главных и свободных неизвестных.
  • Линейные операторы
    Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. О корнях характеристического многочлена линейного оператора. Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями.
  • Линейные, билинейные и квадратичные формы
    Формула линейного функционала. Матрица билинейной формы. Матрица симметричной билинейной формы. Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса. Единственность симметричной билинейной формы, порождающей квадратичную форму. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.
  • Элементы аналитической геометрии
    Прямоугольная система координат на плоскости. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов. Общее уравнение прямой на плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Преобразование координат точки при замене системы координат. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Общее уравнение плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых.
  • Евклидовы пространства
    Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса. Матрица скалярного произведения в ортонормированном базисе. Ортогональные матрицы. Геометрическая интерпретация ортогональных матриц.
  • Самосопряженные операторы
    Сопряженность операторов в евклидовом пространстве. Матрицы сопряженных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
  • Аффинные пространства
    Преобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображения. Линейные операторы, связанные с линейными отображениями. Геометрические свойства линейных отображений. Аффинные и изометрические отображения.
  • Ранг матрицы
    Ранг матрицы. Ранг ступенчатой матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Теорема о ранге матрицы. Критерий линейной независимости системы строк (столбцов). Ранг произведения матриц. Определитель произведения матриц.
  • Преобразования матриц и системы линейных уравнений
    Матрицы. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования матриц. Обратимость элементарных преобразований. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными преобразованиями. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений со ступенчатой матрицей системы. Общее решение систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в случае двух или трех неизвестных. Ненулевые решения однородной системы уравнений.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Итоговая контрольная работа
    Во время контрольной планируется онлайн прокторинг с использованием системы ZOOM. Будет производиться запись конференции. При возникновении подозрений на нарушение норм академической этики администрация оставляет за собой право принятия решения о наличии нарушения на основании просмотра записи. До начала экзамена вам потребуется подготовить 2 устройства: то, на котором будет запущена конференция и то, с которого вы будете читать задание. Перед входом в конференцию установите устройство с камерой таким образом, чтобы в кадр попадали вы, рабочий стол с листом, где вы записываете ответы и экран устройства, с которого вы читаете задания. Внимание! Каждый студент должен в начале своей работы от руки написать следующую фразу: Настоящим подтверждаю, что я, Ф.И.О., внимательно изучил и понял все требования к данной контрольной работе и готов их выполнить. Подпись, расшифровка, число После этого можете начинать выполнять работу. Работы без данной подписи приниматься не будут. Общие правила  При входе в конференцию укажите ваше имя и фамилию  Отключите уведомления всех мессенджеров и социальных сетей на устройстве, с которого вы читаете задание и на устройстве, с которого производится запись. Наличие всплывающих уведомлений может быть расценено как попытка общения  Поскольку экзамен проводится в режиме, где микрофон включен у всех участников, позаботьтесь о том, чтобы в комнате, где вы пишете работу, не было посторонних, отвлекающих шумов: телевизора, громких бытовых приборов и др. Отключите звук телефона, будильники Недопустимо  Использование любых материалов кроме листа, где вы записываете ответы, черновика, материалов, разрешенных условиями экзамена  Наличие в кадре или за кадром посторонних людей  Общение в любой форме, за исключением общения с проктором  Выходить из кадра во время экзамена  Отключать камеру и микрофон во время экзамена  Наличие на рабочем столе каких-либо книг, распечаток, документов, таблиц, кроме листа, на котором вы записываете ответы и черновика.  Наличие на устройстве, с которого вы читаете задание любых открытых окон, кроме окна с заданием и вкладки с формой вопросов к проктору  Использование наушников и smart-часов Проктор  В каждой виртуальной комнате будет работать проктор  Перед началом экзамена проктор попросит вас продемонстрировать в кадре листы для записей и черновиков, разрешенные условиями экзамена материалы, если они предусмотрены  Проктор может попросить вас продемонстрировать листы для записи ответов, черновик или экран устройства с заданием в любой момент экзамена, обратившись к вам по имени, используя микрофон  Открывать задание в my.nes можно строго после команды проктора. Отсчет времени экзамена начинается с этого момента  Проктор будет сообщать вам сколько времени осталось до конца экзамена. Как задавать вопросы  Перед началом контрольной на вашу электронную почту придет ссылка на гугл-форму, в которой вы можете задать вопросы Илье.  Для перехода по ссылке поднимите руку (вашу руку в кадре) и дождитесь ответа от проктора  Перейдите в форму по ссылке, задайте вопрос. Перед вопросом напечатайте вашу фамилию. Дождитесь ответа в форме  Вернитесь на вкладку с открытым заданием Как загружать работу  После команды проктора о завершении экзамена, вам будет выделено время на загрузку работы в my.nes  После команды проктора об окончании работы, у вас будет 10 минут для ее сканирования и загрузки в my.nes, сделать это можно отключившись от трансляции.  Работы, загруженные позднее 10 минут, приниматься к проверке не будут.
  • неблокирующий Промежуточная контрольная работа
  • неблокирующий Обязательные домашние задания
    В случае несвоевременной сдачи домашнего задания, оценка за него снижается на 10% за каждые просроченные сутки.
  • неблокирующий Короткие самостоятельные работы на лекциях (квизы)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.5 * Обязательные домашние задания + 0.5 * Промежуточная контрольная работа
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.1 * Короткие самостоятельные работы на лекциях (квизы) + 0.35 * Обязательные домашние задания + 0.55 * Промежуточная аттестация (3 модуль)
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013
  • Лекции по линейной алгебре, Гельфанд, И. М., 1998
  • Сборник задач по линейной алгебре : учеб. пособие для вузов, Проскуряков, И. В., 1999

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Забрейко, П. П., Третьякова, Л. Г., Прокашева, В. А., & Малевич, А. Э. (2016). АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум. Belarus, Europe: Минск : ГИУСТ БГУ, 2016. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.9AA959F7
  • Прокашева, В. А., Рачковский, Н. Н., & Третьякова, Л. Г. (2010). Задачи и упражнения по высшей математике. Аналитическая геометрия. Линейная алгебра : учеб.-метод. пособие / сост. В. А. Прокашева, Н. Н. Рачковский, Л. Г. Третьякова. Минск : ГИУСТ БГУ.