• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Линейная алгебра

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Физика)
Направление: 03.03.02. Физика
Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Курс "Линейная алгебра" направлен на знакомство студентов с основными понятиями и методами линейной алгебры. При изучении этого курса студенты получат знания о современной алгебре и её месте в математике, познакомятся с понятиями систем линейных уравнений, векторных пространств, матриц, линейных операторов, тензоров, а также научатся решать стандартные задачи линейной алгебры и применять методы линейной алгебры в других математических и физических дисциплинах. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины используются в дальнейшем при изучении таких дисциплин, как "Дифференциальные уравнения", "Теория вероятностей", "Методы вычислений", "Уравнения математической физики", а также профильных физических дисциплин.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Формирование и развитие у студентов структурно-алгебраического мышления и умения видеть общие алгебраические конструкции в различных областях математики
  • Освоение фундаментальных понятий и вычислительных методов линейной алгебры
  • Наработка опыта использования и применения изучаемых методов к исследованию и решению конкретных задач
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Освоение методов решения систем линейных уравнений
  • Знакомство с основными понятиями линейной алгебры
  • Знакомство с основными понятиями и методами линейной алгебры и отработка навыков их применения при решении задач
  • Знакомство с понятием тензора и его применением в математике и физике
  • Знакомство с основными понятиями теории групп
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Системы линейных уравнений
    Методы системы решения линейных уравнений. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений.
  • Векторные пространства
    Векторное пространство, базис и размерность. Векторные подпространства, свойства подпространств. Сопряженное пространство.
  • Линейные отображения
    Линейные отображения. Матрицы линейных отображений. Композиция линейных отображений и произведение матриц. Ядро и образ линейного отображения. Сопряженное отображение.
  • Линейные операторы
    Линейные операторы. Определитель линейного оператора. Определитель композиции операторов.
  • Скалярное произведение
    Скалярное произведение. Ортогонализация Грама-Шмидта.
  • Билинейные и квадратичные формы
    Симметрические билинейные формы и квадратичные формы. Поляризация. Диагонализуемость. Методы Лагранжа и Якоби. Индекс инерции квадратичной формы, критерий Сильвестр
  • Евклидово и эрмитово пространство
    Евклидово и эрмитово пространство. Метрическая геометрия. Псевдоевклидово пространство, пространство Минковского.
  • Векторное пространство с оператором
    Преобразование линейного оператора при смене базиса. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен. Диагонализуемость.
  • Евклидово и эрмитово пространство с оператором
    Симметрические, кососимметрические, ортогональные, эрмитовы, косоэрмитовы, унитарные операторы. Собственные значения, диагонализуемость. Линейные операторы и билинейные функции в пространстве со скалярным произведением.
  • Жорданова нормальная форма
    Корневые векторы. Разложение пространства с оператором в прямую сумму корневых подпространств. Нильпотентные операторы.
  • Группы
    Действие группы на множестве. Примеры: простейшие конечные группы, группы отражений, кристаллографические группы. Гомоморфизмы групп.
  • Тензоры
    Примеры тензоров. Двойственность и свертки. Симметрические и кососимметрические тензоры.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий домашние задания
  • неблокирующий контрольная работа
  • неблокирующий коллоквиум
  • неблокирующий Письменный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.3 * домашние задания + 0.4 * коллоквиум + 0.3 * контрольная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс алгебры, Винберг Э. Б., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Лекции по линейной алгебре, Гельфанд И. М., 1998