Математический анализ

Бакалавриат 2019/2020

Статус: Курс обязательный (Инфокоммуникационные технологии и системы связи)

Направление: 11.03.02. Инфокоммуникационные технологии и системы связи

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Акбаров Сергей Саидмузафарович, Волкова Татьяна Викторовна, Выборный Евгений Викторович, Гайдуков Роман Константинович, Синельщиков Дмитрий Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 56

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы. Приобретенные при изучении дисциплины знания должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих курсов: • «Дифференциальные уравнения»; «Теория функций комплексного переменного»; «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов»; «Уравнения математической физики»; «Методы оптимизации»; «Исследование операций»; «Физика»; «Математическое моделирование»; «Численные методы»; «Теория управления»; «Случайные процессы и теория массового обслуживания». Формат изучения дисциплины: без использования онлайн курса.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных;
Формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления, содействие фундаментализации образования.

Планируемые результаты обучения

Студент должен знать основные положения теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов, теории интегралов, зависящих от параметра, теории неявных функций и её приложений к задачам на условный экстремум, теории поля, основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных.
Студент должен уметь определять возможности применения теоретических положений и методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач, решать основные задачи, требующие вычисления пределов функций, производных и интегралов, разложения функций в ряды.
Студент должен иметь навыки использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

Евклидовы пространства и гладкие функции на них.
Евклидовы пространства. Модуль вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональность. Ортонормированный базис. Ортогональное проектирование. Ортогонализация Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. Сходимость последовательности в евклидовом пространстве. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Непрерывные функции на евклидовом пространстве. Предел функции на евклидовом пространстве. Дифференцируемые функции на евклидовом пространстве. Дифференциал и непрерывно дифференцируемые функции порядка. Градиент функции и его связь с дифференциалом. Непрерывная дифференцируемость порядка 2 и теорема Шварца. Непрерывная дифференцируемость порядка m и производная по мультииндексу. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум на евклидовом пространстве. Условия локального экстремума в терминах свойств дифференциалов. Условия локального экстремума в терминах свойств частных производных. Локальный экстремум функции двух переменных. Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Задачи на условный экстремум.
Мера Жордана и кратный интеграл.
Площадь и объем в школьной геометрии. Парадокс Банаха-Тарского. Понятие меры. Двоичная сетка, клеточные множества и клеточная мера в R2. Внутреннее, граничное и инцидентное клеточные множества в R2. Измеримые множества и мера Жордана в R2. Свойства меры Жордана. Определение кратного интеграла. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом компакте. Свойства кратного интеграла. Вычисление кратных интегралов. Правильные области в Rn. Площадь правильной области в R2. Объем правильной области в R3. Переход от кратного интеграла к повторному. Теорема о замене переменных. Полярные координаты. Цилиндрические координаты. Сферические координаты.
Криволинейные и поверхностные интегралы.
Параметризованная кривая. Разбиения параметризованных кривых. Скалярная кривая. Разбиение скалярной кривой. Длина кривой и формула для ее вычисления. Аддитивность длины. Изотропный интеграл по кривой и формула его вычисления. Ориентированная кривая. Разбиение ориентированной кривой. Векторная длина ориентированной кривой. Аддитивность векторной длины. Связь между скалярной и векторной длиной. Векторные поля. Работа векторного поля вдоль кривой. Параметризованная поверхность. Разбиения параметризованных поверхностей. Скалярная поверхность. Разбиение скалярной поверхности. Площадь поверхности и формула для ее вычисления. Аддитивность площади. Изотропный интеграл по поверхности и формула его вычисления. Ориентированная поверхность. Разбиение ориентированной поверхности. Векторная площадь ориентированной поверхности. Аддитивность векторной площади. Связь между скалярной и векторной площадью. Поток векторного поля через поверхность. Полурегулярные области. Ориентированные области. Формула Грина. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.
Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши. Существование и единственность решения. Уравнения с разделяющимися переменным и с однородной правой частью, линейные уравнения. Задача Коши для общего дифференциального уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их свойства и методы решения. Метод Лагранжа (вариации постоянных).

Элементы контроля

Контрольная работа №1 Дифференцирование функций нескольких переменных
Контрольная работа №2
Контрольная работа №3
Коллоквиум
Аудиторная
Экзамен
Результирующая за 1-2 модули 1 года
Результирующая за 3-4 модули 1 года

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.034 * Аудиторная + 0.034 * Коллоквиум + 0.034 * Контрольная работа №1 Дифференцирование функций нескольких переменных + 0.034 * Контрольная работа №2 + 0.034 * Контрольная работа №3 + 0.33 * Результирующая за 1-2 модули 1 года + 0.33 * Результирующая за 3-4 модули 1 года + 0.17 * Экзамен

Программа дисциплины