• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Математический анализ

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Физика)
Направление: 03.03.02. Физика
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 10

Программа дисциплины

Аннотация

Курс математического анализа в первых двух семестрах первого года обучения знакомит учащихся с основами дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных. Основные понятия курса: предел последовательности, сходимость рядов, непрерывные функции, производная и дифференцируемость функций одного переменного, интеграл Римана, несобственный интеграл Римана, интеграл Лебега, производная функций нескольких переменных.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются: 1. Формирование компетенций, предусмотренных ФГОС основной образовательной программы и закрепленных в учебном плане за данной дисциплиной; 2. Формирование у студентов базовых знаний о методах классического математического анализа; 3. Формирование у студентов знаний по теоретическим основам математического анализа и понимания его места и роли в системе современной науки и техники; 4. Формирование навыков работы с функциями, последовательностями и интегралами; 5. Получение студентами навыков и умений решать стандартные задачи математического анализа; 6. Формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • 1. Формирование компетенций, предусмотренных ФГОС основной образовательной программы и закрепленных в учебном плане за данной дисциплиной.
  • 2. Формирование у студентов базовых знаний о методах классического математического анализа.
  • 3. Формирование у студентов знаний по теоретическим основам математического анализа и понимания его места и роли в системе современной науки и техники.
  • 4. Формирование навыков работы с последовательностями.
  • 5. Получение студентами навыков и умений решать стандартные задачи математического анализа.
  • 6. Формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности.
  • Формирование навыков работы с последовательностями и пределами.
  • Формирование навыков работы с производными.
  • Формирование навыков работы с числовыми рядами.
  • Формирование навыков работы с интегралами.
  • Знакомство с основами теории метрических пространств.
  • Выработка навыков работы с несобственным интегралом.
  • Освоение понятия многомерного интегралы и выработка навыков работы с ним.
  • Знакомство с основными идеями и результатами теории интеграла Лебега.
  • Формирование навыков работы с производными функций нескольких переменных и с приложениями дифференциального исчисления в многомерных пространствах.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Множества, числа и последовательности.
    Базовые понятия, относящиеся к множествам, числам и последовательностям. Натуральные, целые и рациональные числа. Аксиоматика вещественных чисел. Точная верхняя и точная нижняя грани множества. Предел последовательности. Монотонные последовательности и их пределы. Фундаментальная последовательность. Существование предела фундаментальной последовательности. Примеры пределом. Число e. Существование общей точки вложенных отрезков. Существование сходящейся подпоследовательности ограниченной последовательности. Существование конечного подпокрытия отрезка для всякого покрытия интервалами. Модель вещественных чисел на основе фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
  • Предел функции и непрерывность.
    Предел функции в точке. Односторонние пределы. Непрерывность функций. Свойства непрерывных функций. Существование минимума и максимума функции, непрерывной на отрезке. Теорема о промежуточных значениях. Точки разрыва и их классификация. Элементарные функции и их непрерывность.
  • Производная.
    Определение производной. Касательная к графику функции в точке. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Правило Лопиталя. Производные элементарных функций. Таблицы производных и первообразных элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Точки локального экстремума. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Вторая производная. Производные высших порядков. Формула Тейлора. Монотонные дифференцируемые функции. Выпуклые и вогнутые функции. Критерий выпуклости дифференцируемой функции. Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции. Исследование функции с помощью первой и второй производных. Достаточное условие локального максимума и локального минимума в точке в терминах первой и второй производной.
  • Ряды.
    Ряды. Признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Сходимость ряда. Абсолютная сходимость. Достаточные условия Коши и Даламбера сходимости неотрицательных рядов.
  • Интеграл Римана функций одной переменной.
    Первообразная. Правила интегрирования. Табличные интегралы. Интеграл Римана для непрерывных функций. Теорема о среднем для интеграла непрерывной функции и ее применения. Дифференцирование интеграла по верхнему пределу, связь с неопределенным интегралом и формула Ньютона – Лейбница. Применения формулы Ньютона – Лейбница: замена переменной и формула интегрирования по частям. Вторая теорема о среднем. Формула Тейлора с интегральным представлением остаточного члена. Общее определение интеграла Римана. Суммы Дарбу. Свойства интеграла Римана. Функции Дирихле и Римана. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
  • Метрические пространства.
    Понятие метрического пространства. Норма и расстояние в n-мерном пространстве. Пространства ограниченных функций. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полные метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Компактные метрические пространства (определение и формулировка теоремы о равносильных условиях). Компактные множества в конечномерном пространстве. Непрерывные функции на метрических пространствах. Существование минимума и максимума непрерывной функции на компакте. Непрерывные функции многих переменных.
  • Несобственный интеграл Римана.
    Несобственный интеграл Римана на ограниченном и на неограниченном промежутке. Достаточное условие Абеля – Дирихле сходимости несобственного интеграла.
  • Многомерный интеграл Римана.
    Определение многомерного интеграла Римана и основные его свойства.
  • Основы теории интеграла Лебега.
    Внешняя мера Лебега. Измеримость по Лебегу. Понятие сигма-алгебры. Формулировка теоремы о счетной аддитивности внешней меры на классе измеримых множеств. Теорема об инвариантности меры Лебега при ортогональных преобразованиях. Пример Витали. Борелевские множества и их измеримость по Лебегу. Измеримые по Лебегу функции. Простые функции. Интеграл Лебега от простой функции. Интеграл Лебега от ограниченной функции. Общее определение интеграла Лебега и его основные свойства.
  • Производные функций нескольких переменных.
    Линейные отображения. Норма линейного оператора. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Производная и градиент. Частные производные и связь с дифференцируемостью. Производные линейных операторов и квадратичных форм. Якобиан. Формула замены переменных в многомерном интеграле.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий домашние задания, контрольные, коллоквиумы
  • блокирует часть оценки/расчета Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Накопленная оценка за работу в семестре (за текущий контроль) следующая: Н=0.2 Кр1+0.2 Кр2+0.5 (Кол1+Кол2+...)/Nкол+0.1 Дз, где Кр1 и Кр2 — оценки за контрольные работы, Кол1, Кол2 и т.д. — оценки за коллоквиумы, Nкол – число коллоквиумов в этом семестре, Дз — итоговая оценка за выполнение домашних заданий в текущем семестре. Итоговая оценка за семестр (промежуточная аттестация) В семестрах 1 и 2 итоговая оценка (ИО1 и ИО2) определяется по формуле ИО=0.5 Н+0.5 Э, где Н — накопленная в семестре оценка, Э — оценка на экзамене. При вычислении итоговой оценки в случае дробного результата округление производится до ближайшего целого числа в большую сторону. В завершающем семестре курса (2 курс, 1 семестр) итоговая оценка за весь курс определяется по формуле ИО=ИО1/3+ИО2/3+Н/6+Э/6, где ИО1 и ИО2 — итоговые оценки в первых семестрах, Н — накопленная оценка в текущем семестре, Э — оценка на экзамене в текущем семестре. При вычислении итоговой оценки в случае дробного результата округление производится до ближайшего целого числа в большую сторону.
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Накопленная оценка за работу в семестре (за текущий контроль) следующая: Н=0.2 Кр1+0.2 Кр2+0.5 (Кол1+Кол2+...)/Nкол+0.1 Дз, где Кр1 и Кр2 — оценки за контрольные работы, Кол1, Кол2 и т.д. — оценки за коллоквиумы, Nкол – число коллоквиумов в этом семестре, Дз — итоговая оценка за выполнение домашних заданий в текущем семестре. Итоговая оценка за семестр (промежуточная аттестация) В семестрах 1 и 2 итоговая оценка (ИО1 и ИО2) определяется по формуле ИО=0.5 Н+0.5 Э, где Н — накопленная в семестре оценка, Э — оценка на экзамене. При вычислении итоговой оценки в случае дробного результата округление производится до ближайшего целого числа в большую сторону. В завершающем семестре курса (2 курс, 1 семестр) итоговая оценка за весь курс определяется по формуле ИО=ИО1/3+ИО2/3+Н/6+Э/6, где ИО1 и ИО2 — итоговые оценки в первых семестрах, Н — накопленная оценка в текущем семестре, Э — оценка на экзамене в текущем семестре. При вычислении итоговой оценки в случае дробного результата округление производится до ближайшего целого числа в большую сторону.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс математического анализа : учеб. пособие для вузов, Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И., 2000
  • Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович Б. П., 2004

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович Б. П., 2003