Магистратура
2019/2020
Модели сложных систем
Статус:
Курс обязательный (Математические методы моделирования и компьютерные технологии)
Направление:
01.04.02. Прикладная математика и информатика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Соколик Алексей Алексеевич
Прогр. обучения:
Математические методы моделирования и компьютерные технологии
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина «Модели сложных систем» направлена на ознакомление студентов с основными моделями сложных систем, изучаемых в современной квантовой и статистической физике и применяемых для решения как фундаментальных, так и прикладных задач. Учебный курс охватывает современные вычислительные методы и модели, используемые в квантовой механике атомов, молекул, наноструктур и конденсированных сред, основные модели современной статистической физики малых систем, стохастической и квантовой термодинамики, а также модели, применяемые в статистической физике фазовых переходов. Для изучения курса студенты должны иметь базовые знания квантовой механики и статистической физики.
Цель освоения дисциплины
- ознакомление студентов с основными моделями сложных систем, изучаемых в современной квантовой и статистической физике и применяемых для решения как фундаментальных, так и прикладных задач
- формирование у учащихся навыков применения полученных знаний для решения научно-исследовательских и прикладных задач
Планируемые результаты обучения
- формулирует основные методы численного моделирования многочастичных квантовых систем
- описывает наиболее часто используемые разновидности функционалов плотности
- описывает алгоритмы Монте-Карло для моделирования классических статистических и квантовых многочастичных систем
- формулирует методы классического и квантового отжига для решения оптимизационных задач
- определяет и применяет основные понятия стохастической термодинамики
- воспроизводит и применяет флуктуационные теоремы
- анализирует влияние нетепловых и квантовых эффектов на эффективность модельных тепловых машин
- формулирует и анализирует основные модели в физике фазовых переходов: модель Изинга, модель XY, модель Поттса
- рассчитывает корреляционные функции параметра порядка и критические индексы в рамках предложенной модели
- формулирует аппарат ренорм-группы в координатном и импульсном представлениях
Содержание учебной дисциплины
- Методы моделирования в квантовой механикеТеория возмущений. Вариационный метод. Приближение среднего поля, уравнения Хартри-Фока. Метод функционала плотности, теоремы Хоэнберга-Кона и метод Кона-Шема. Нестационарная теория функционала плотности. Вариационный метод Монте-Карло. Метод мнимого времени. Квантовый диффузионный метод Монте-Карло. Монте-карловское интегрирование по путям. Моделирование сверхтекучих систем бозонов. Проблема знака в случае фермионов. Квантовый отжиг как метод решения оптимизационных задач. Искусственные нейронные сети, сети Хопфилда и машины Больцмана. Использование нейронных сетей для определения основного состояния и временной эволюции квантовых систем.
- Стохастическая и квантовая термодинамикаСтатистические ансамбли и энтропия. Разделение теплоты и работы. Производство и поток энтропии. Термодинамика неравновесных систем в установившемся состоянии. Равенство Ярзинского, соотношение Крукса, другие детальные и интегральные флуктуационные теоремы. Термодинамические протоколы и их обратимость. Траекторная термодинамика. Демон Максвелла и двигатель Сциларда. Термодинамические протоколы с обратной связью и обобщенные флуктуационные теоремы. Принцип Ландауэра. Связь термодинамики и информации. Использование информации для повышения эффективности тепловых машин. Аппарат матрицы плотности. Квантовая запутанность и декогеренция. Квантовая стохастическая термодинамика, роль процессов измерения. Квантовые флуктуационные теоремы. Извлечение работы из квантовых систем. Ресурсная формулировка термодинамики. Квантовые корреляции как термодинамический ресурс. Квантовые тепловые машины.
- Статистическая физика фазовых переходовФазовые переходы, параметр порядка и критические индексы. Универсальность фазовых переходов. Модель Изинга, XY-модель, модель Поттса. Приближение среднего поля. Тепловые флуктуации параметра порядка. Корреляционная длина. Топологические дефекты, механизм Киббла-Цюрека. Корреляционные функции параметра порядка и их вычисление при помощи функциональных интегралов. Гауссово приближение и пределы его применимости. Верхняя и нижняя критические размерности. Квазидальний порядок в двумерных системах, переход Березинского-Костерлица-Таулеса. Квантовые фазовые переходы. Масштабные преобразования. Ренорм-групповые потоки и фиксированные точки. Ренорм-группа в координатном и импульсном представлениях. Размерная регуляризации и эпсилон-разложение.
Элементы контроля
- Самостоятельная работа 1
- Самостоятельная работа 2
- Самостоятельная работа 3
- Самостоятельная работа 4
- Самостоятельная работа 5
- Самостоятельная работа 6
- Самостоятельная работа 8
- Самостоятельная работа 9
- Самостоятельная работа 10
- Самостоятельная работа 11
- Самостоятельная работа 12
- Самостоятельная работа 13
- Самостоятельная работа 14
- Самостоятельная работа 15
- Экзамен
- Самостоятельная работа 7
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.034 * Самостоятельная работа 1 + 0.033 * Самостоятельная работа 10 + 0.033 * Самостоятельная работа 11 + 0.033 * Самостоятельная работа 12 + 0.033 * Самостоятельная работа 13 + 0.033 * Самостоятельная работа 14 + 0.033 * Самостоятельная работа 15 + 0.034 * Самостоятельная работа 2 + 0.034 * Самостоятельная работа 3 + 0.034 * Самостоятельная работа 4 + 0.034 * Самостоятельная работа 5 + 0.033 * Самостоятельная работа 6 + 0.033 * Самостоятельная работа 7 + 0.033 * Самостоятельная работа 8 + 0.033 * Самостоятельная работа 9 + 0.5 * Экзамен
