Магистратура
2019/2020
Функциональный анализ для машинного обучения
Статус:
Курс по выбору (Науки о данных)
Направление:
01.04.02. Прикладная математика и информатика
Кто читает:
Базовая кафедра Яндекс
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Прогр. обучения:
Науки о данных
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
48
Программа дисциплины
Аннотация
Классический, обычно читающийся на математических специальностях университетов, курс функционального анализа включает в себя общую теорию метрических и нормированных пространств, теорию операторов в нормированных пространствах. Будут затронуты аспекты спектральной теории операторов и преобразования Фурье. По возможности будет дано представление о приложениях функционального анализа к анализу данных, машинному обучению и т.д.
Цель освоения дисциплины
- Целями освоения дисциплины «Функциональный анализ для машинного обучения» являются овладение студентами основными концепциями функционального анализа. Подбор метрик, нахождение правильного определения "похожести" - это одна из важнейших проблем машинного обучения. Дальнейшее преобразование рассматриваемых пространств для их линеаризации, составляет суть "ядрового" подхода. Для понимания этих и многих других методов и подходов машинного обучения важно владеть инструментальным и понятийным аппаратом функционального анализа.
Планируемые результаты обучения
- знать основные понятия функционального анализа
- знать основные понятия Теории меры
- знать основные понятия теории интегрирования
- уметь работать с пространствами Lp
- уметь работать с произведениями мер
- уметь делать замену переменных
- уметь конструировать нормы и метрики в конкретных простанствах
- владеть основными понятиями топологии
- знать специфику полных пространств
- понимать специфику работы с компактными подмножествами
- уметь строить пополнения метрических пространств
- знать основные результаты об ограниченных операторах в нормированных пространствах
- владеть основными результатами о пространствах регулярных функций
- знать основные понятия теории гильбертовых пространств
Содержание учебной дисциплины
- ВведениеИнтеграл Римана. Проблемы, связанные с мерами. Парадокс Банаха-Тарского.
- Теория мерыТеория меры. Измеримые пространства. Положительные меры. Измеримые функции.
- Конструкции мерКонструкции мер. Внешние меры. Мера Лебега. Меры Стилтьеса. Меры Хаусдорфа. Пополнение меры.
- Пространства LpСвойства. Теорема Радона-Никодима.
- ИнтегрированиеКонструкция. Интегрируемые функции. Интегралы, зависящие от параметра. Векторное интегрирование.
- Замена переменныхОбщая формула. Мера Лебега на сфере.
- МетрикиКлассические нормы и метрики. Конструкции. Липшицевы функции.
- Произведения мерПроизведения мер. Теорема Фубини
- Топология метрических пространствОткрытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание и граница. Пределы и непрерывность. Сходимость функциональных последовательностей. Полунепрерывность снизу.
- ПолнотаПоследовательности Коши. Полные пространства. Теорема Пикара. Теорема Бэра.
- КомпактностьОпределение. Примеры и свойства. Компактность и непрерывность.
- ПлотностьПлотные подмножества. Пополнение метрического пространства. Сепарабельность.
- Нормированные пространстваНормированные векторные пространства. Операторы на нормированных пространствах. Принцип равномерной ограниченности. Функционалы и двойственность.
- Регулярные функцииПространства регулярных функций. Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Теорема Арцела.
- Гильбертовы пространстваСкалярные произведения. Теоремы о проекциях. Ортогональность. Представления функционалов. Reproducing kernel Hilbert spaces. Преобразование Фурье.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.3 * Домашняя работа + 0.3 * Домашняя работа + 0.4 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Гусев, А. Л. (2019). Слабо Регулярные Множества В Пространстве Функций Конечного Порядка В Полуплоскости. Belgorod State University Scientific Bulletin: Mathematics & Physics, 51(2), 217–226. https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-2-217-226
- Математический анализ (примеры и задачи) : Учебно-методическое пособие, Панневиц, О.В., 2013
- Математический анализ (с экономическими приложениями). Функции одной переменной : Учеб. пособие, Волкова, И.О., 1998
- Функциональный анализ и вычислительная математика, Лебедев, В. И., 2000
Рекомендуемая дополнительная литература
- V. Kuznetsov N., O. Matveeva A., В. Кузнецов Н., & О. Матвеева А. (2018). Boundary behavior and the problem of analytic continuation of a certain class of Dirichlet series with multiplicative coefficients as an integral functions on the complex plane ; Граничное поведение и задача аналитического продолжения одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами как целых функций на комплексную плоскость. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.BF19CD2E
- Математический анализ : сб. задач с решениями: учеб. пособие для вузов, Шершнев, В. Г., 2013