• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Магистратура 2019/2020

Функциональный анализ для машинного обучения

Статус: Курс по выбору (Науки о данных)
Направление: 01.04.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Прогр. обучения: Науки о данных
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Классический, обычно читающийся на математических специальностях университетов, курс функционального анализа включает в себя общую теорию метрических и нормированных пространств, теорию операторов в нормированных пространствах. Будут затронуты аспекты спектральной теории операторов и преобразования Фурье. По возможности будет дано представление о приложениях функционального анализа к анализу данных, машинному обучению и т.д.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Функциональный анализ для машинного обучения» являются овладение студентами основными концепциями функционального анализа. Подбор метрик, нахождение правильного определения "похожести" - это одна из важнейших проблем машинного обучения. Дальнейшее преобразование рассматриваемых пространств для их линеаризации, составляет суть "ядрового" подхода. Для понимания этих и многих других методов и подходов машинного обучения важно владеть инструментальным и понятийным аппаратом функционального анализа.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • знать основные понятия функционального анализа
  • знать основные понятия Теории меры
  • знать основные понятия теории интегрирования
  • уметь работать с пространствами Lp
  • уметь работать с произведениями мер
  • уметь делать замену переменных
  • уметь конструировать нормы и метрики в конкретных простанствах
  • владеть основными понятиями топологии
  • знать специфику полных пространств
  • понимать специфику работы с компактными подмножествами
  • уметь строить пополнения метрических пространств
  • знать основные результаты об ограниченных операторах в нормированных пространствах
  • владеть основными результатами о пространствах регулярных функций
  • знать основные понятия теории гильбертовых пространств
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение
    Интеграл Римана. Проблемы, связанные с мерами. Парадокс Банаха-Тарского.
  • Теория меры
    Теория меры. Измеримые пространства. Положительные меры. Измеримые функции.
  • Конструкции мер
    Конструкции мер. Внешние меры. Мера Лебега. Меры Стилтьеса. Меры Хаусдорфа. Пополнение меры.
  • Пространства Lp
    Свойства. Теорема Радона-Никодима.
  • Интегрирование
    Конструкция. Интегрируемые функции. Интегралы, зависящие от параметра. Векторное интегрирование.
  • Замена переменных
    Общая формула. Мера Лебега на сфере.
  • Метрики
    Классические нормы и метрики. Конструкции. Липшицевы функции.
  • Произведения мер
    Произведения мер. Теорема Фубини
  • Топология метрических пространств
    Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание и граница. Пределы и непрерывность. Сходимость функциональных последовательностей. Полунепрерывность снизу.
  • Полнота
    Последовательности Коши. Полные пространства. Теорема Пикара. Теорема Бэра.
  • Компактность
    Определение. Примеры и свойства. Компактность и непрерывность.
  • Плотность
    Плотные подмножества. Пополнение метрического пространства. Сепарабельность.
  • Нормированные пространства
    Нормированные векторные пространства. Операторы на нормированных пространствах. Принцип равномерной ограниченности. Функционалы и двойственность.
  • Регулярные функции
    Пространства регулярных функций. Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Теорема Арцела.
  • Гильбертовы пространства
    Скалярные произведения. Теоремы о проекциях. Ортогональность. Представления функционалов. Reproducing kernel Hilbert spaces. Преобразование Фурье.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Created with Sketch. Домашняя работа
  • неблокирующий Created with Sketch. Домашняя работа
  • неблокирующий Created with Sketch. Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.3 * Домашняя работа + 0.3 * Домашняя работа + 0.4 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Гусев, А. Л. (2019). Слабо Регулярные Множества В Пространстве Функций Конечного Порядка В Полуплоскости. Belgorod State University Scientific Bulletin: Mathematics & Physics, 51(2), 217–226. https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-2-217-226
  • Математический анализ (примеры и задачи) : Учебно-методическое пособие, Панневиц, О.В., Рыбакин, А.С., 2013
  • Математический анализ (с экономическими приложениями). Функции одной переменной : Учеб. пособие, Волкова И.О., Крутицкая, Н.Ч., 1998
  • Функциональный анализ и вычислительная математика, Лебедев В. И., 2000

Рекомендуемая дополнительная литература

  • V. Kuznetsov N., O. Matveeva A., В. Кузнецов Н., & О. Матвеева А. (2018). Boundary behavior and the problem of analytic continuation of a certain class of Dirichlet series with multiplicative coefficients as an integral functions on the complex plane ; Граничное поведение и задача аналитического продолжения одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами как целых функций на комплексную плоскость. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.BF19CD2E
  • Математический анализ : сб. задач с решениями: учеб. пособие для вузов, Шершнев В. Г., 2013