• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Численные методы

Статус: Курс обязательный (Прикладная математика)
Направление: 01.03.04. Прикладная математика
Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: Blended
Язык: английский
Кредиты: 4

Course Syllabus

Abstract

Numerical computations historically play a crucial role in natural sciences and engineering. These days however, it’s not only traditional «hard sciences»: whether you do digital humanities or biotechnology, whether you design novel materials or build artificial intelligence systems, virtually any quantitative work involves some amount of numerical computing . These days, you hardly ever implement the whole computation yourselves from scratch. We rely on libraries which package tried-and-tested, battle-hardened numerical primitives. It is vanishingly rare however that a library contains a single pre-packaged routine which does all what you need. Numerical computing involves assembling these building blocks into computational pipelines. This kind of work requires a general understanding of basic numerical methods, their strengths and weaknesses, their limitations and their failure modes. And this is exactly what this course is about. It is meant to be an introductory, foundational course in numerical analysis, with the focus on basic ideas. We will review and develop basic characteristics of numerical algorithms (convergence, approximation, stability, computational complexity and so on), and will illustrate them with several classic problems in numerical mathematics. You will also work on implementing abstract mathematical constructions into working prototypes of numerical code. Upon completion of this course, you will have an overview of the main ideas of numerical computing, and will have a solid foundation for reading up on and working with more advanced numerical needs of your specific subject area. As prerequisites for this course, we assume a basic command of college-level mathematics (linear algebra and calculus, mostly), and a basic level of programming proficiency. Дисциплина изучается в формате смешанного обучения blended learning, с использованием онлайн-курса Introduction to Numerical Analysis на платформе Coursera, https://www.coursera.org/learn/intro-to-numerical-analysis/
Learning Objectives

Learning Objectives

  • Освоение базовых знаний о численных методах, используемых в современной прикладной математике
  • Приобретение навыков работы в математических пакетах и с библиотеками математического программного обеспечения
Expected Learning Outcomes

Expected Learning Outcomes

  • Знание математические основы численных методов, применяемых в современных прикладных и фундаментальных исследованиях
  • Умение правильно выбирать тот или иной численный метод для решения конкретных математических задач
  • Навыки работы со стандартными математическими пакетами
Course Contents

Course Contents

  • Предмет вычислительной математики.
    Постановка вычислительной задачи. Этапы решения. Корректность, устойчивость. Число обусловленности. Погрешности округления. Особенности машинной арифметики.
  • Решение нелинейных уравнений.
    Постановка задачи приближенного решения нелинейных уравнений. Локализация корней. Метод бисекции, метод простой итерации, метод Ньютона: алгоритмы, теоремы сходимости. Априорные и апостериорные оценки погрешности. Приведение к виду, удобному для итераций. Влияние погрешности вычислений. Вычисление кратных корней.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми методами.
    Нормы векторов и матриц. Обусловленность задачи решения систем линейных алгебраических уравнений . Метод Гаусса и его модификации. LU-разложение матрицы. Задачи, решаемые на основе LU- разложения. Трудоемкость метода. Метод Холецкого. Метод прогонки. Алгоритм и трудоемкость метода.
  • Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.
    Метод простой итерации и метод Зейделя: основные алгоритмы и теоремы сходимости. Каноническая форма записи итерационных методов. Итерационный метод с оптимальным параметром.
  • Задача на собственные значения.
    Постановка задачи на поиск собственных значений. Степенной метод, обратная итерация. Сдвиги. QR-алгоритм.
  • Приближение функций в смысле наименьших квадратов.
    Постановки задач приближения функций. Метод наименьших квадратов: вывод нормальной системы уравнений, ее разрешимость. Выбор степени аппроксимирующего многочлена.
  • Интерполяция функций.
    Полиномиальная интерполяция. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Многочлен Лагранжа. Погрешность интерполяции. Интерполяция с кратными узлами. Конечные разности. Интерполяционный многочлен Лагранжа и Ньютона на равномерной сетке. Разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона. Кусочно-полиномиальная интерполяция.
  • Сплайны.
    Определение сплайна. Многочлен Эрмита. Построение кубических сплайнов дефектов один и два. Различные виды граничных условий.
  • Решение систем нелинейных уравнений.
    Постановка задачи отыскания решения систем нелинейных уравнений, корректность и обусловленность задачи. Метод простой итерации: сходимость метода, модификации. Проблема выбора начального приближения. Метод Ньютона. Теорема о квадратичной сходимости. Трудности использования метода Ньютона. Влияние вычислительной погрешности. Другие подходы к решению задач по решению систем нелинейных уравнений.
  • Минимизация функций.
    Постановка задачи одномерной минимизации. Основные этапы решения. Решение задачи одномерной минимизации методом деления отрезка пополам. Алгоритм и оценка погрешности. Решение задачи одномерной минимизации методом золотого сечения. Алгоритм и оценка погрешности. Связь с задачей отыскания корней нелинейного уравнения. Метод Ньютона для решения задачи минимизации функций.
  • Численное интегрирование.
    Постановка задачи численного интегрирования. Вывод формул прямоугольников, трапеций и Симпсона и оценки погрешностей.
  • Численное дифференцирование.
    Постановка задачи численного дифференцирования. Вычисление левой, правой и центральной производной (первого порядка). Вторая разностная производная. Их оценки погрешности.
Assessment Elements

Assessment Elements

  • non-blocking Домашние задания
  • non-blocking Аудиторная работа
  • blocking Экзамен
    Экзамен проводится письменной форме в экзаменационный период четвертого модуля с использованием асинхронного прокторинга ВШЭ. Длительность экзамена один астрономический час.
  • non-blocking контрольно-измерительные материалы
    контрольно-измерительные материалы
  • non-blocking Оценка за прохождение онлайн-компоненты
Interim Assessment

Interim Assessment

  • Interim assessment (4 module)
    0.1 * Аудиторная работа + 0.3 * Домашние задания + 0.3 * Оценка за прохождение онлайн-компоненты + 0.3 * Экзамен
Bibliography

Bibliography

Recommended Core Bibliography

  • Вычислительные методы для инженеров : учеб. пособин для вузов, Амосов А. А., Дубинский Ю. А., 2003

Recommended Additional Bibliography

  • Higham, N. J., & Dennis, M. R. (2015). The Princeton Companion to Applied Mathematics. Princeton: Princeton University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=1426583
  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Калиткин Н. Н., 2011