• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Численные методы

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика
Когда читается: 4-й курс, 3 модуль
Формат изучения: Full time
Преподаватели: Каледин Максим Львович
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Численные методы — это набор техник и подходов для приближённого решения математических задач на компьютере. Очень редко задачи аппроксимации, интерполяции и дифференциальные уравнения решаются аналитически, но в большинстве случаев можно предложить надёжный численный метод, позволяющий получить решение с заданной точностью. Курс призван дать представление о современном состоянии вычислительной математики и её приложений в анализе данных и машинном обучении. Студенты научатся не только получать теоретические оценки сходимости и надёжности, но улучшать и строить свои методы для решения более конкретных задач на практике. В ходе курса предлагаются практические задания и проектная работа.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с приближёнными методами для решения задач интерполяции, аппроксимации, приближённого решения уравнений, возникающих при работе с данными.
  • Формирование у студентов практических навыков работы с данными и приближённого решения частых практических задач в области машинного обучения, оптимизации и имитационного моделирования.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знать общие понятия теории численных методов, основные численные методы алгебры и математического анализа, используемые для решения прикладных задач в профессиональной деятельности
  • Знать основные принципы построения и применения эффективных численных алгоритмов с использованием современных информационно-коммуникационных технологий, включая специализированные математические программные системы
  • Уметь использовать современные вычислительные средства для обработки, визуализации и анализа результатов исследований из различных областей математики и ее приложений
  • Владеть современным инструментарием для решения прикладных задач в профессиональной деятельности
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение в численные методы, описание основных задач
    Постановка практической задачи. Необходимость применения численных методов решения. Специфика машинных вычислений. Элементарная теория погрешностей.
  • Численное дифференцирование
    Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности. Метод неопределенных коэффициентов вывода формул численного дифференцирования. Оптимальный шаг численного дифференцирования.
  • Интерполяция
    Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность алгебраического интерполяционного полинома. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Остаточный член интерполяции. Интерполяция по чебышёвским узлам. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Кусочно-многочленная интерполяция. Интерполяция сплайнами.
  • Численное интегрирование
    Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.
  • Аппроксимация функций
    Аппроксимация в Гильбертовом пространстве. Корректность и обусловленность задачи.
  • Решение систем линейных уравнений
    Нормы в конечномерных пространствах. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Прямые методы решения: метод Гаусса, метод Гаусса с выбором главного элемента, метод прогонки для систем специального вида. LU-разложение и его связь с методом Гаусса. Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций. Необходимое, достаточное условия сходимости метода простых итераций. Методы Якоби, Зейделя. Методы решения, основанные на минимизации функционалов. Переопределенные системы линейных алгебраических уравнений.
  • Решение систем нелинейных уравнений
    Принцип сжимающих отображений. Метод простых итераций. Условие сходимости метода простых итераций. Метод Ньютона. Порядок сходимости и условия достижения заданной точности итерационных методов. Метод релаксации.
  • Решение задачи Коши и краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
    Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости. Численные методы решения задачи Коши для ОДУ. Методы Рунге–Кутты и Адамса решения ОДУ. Численное решение краевых задач для ОДУ. Методы решения линейных и нелинейных краевых задач.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Индивидуальный проект
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.28 * Индивидуальный проект + 0.07 * Контрольная работа 1 + 0.35 * Контрольная работа 2 + 0.3 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., 2008

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Марчук Г.И. — Методы вычислительной математики - Издательство "Лань" - 2009 - ISBN: 978-5-8114-0892-4 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/255
  • - Рябенький В.С. — Введение в вычислительную математику. - Издательство "Физматлит" - 2008 - ISBN: 978-5-9221-0926-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2297