• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Теория вероятностей

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Экономика и статистика)
Направление: 38.03.01. Экономика
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

"Теория вероятностей" - курс, направленный на формирование у студентов научного представления о случайных событиях и величинах, о методах их исследования, а также вероятностно-статистического мышления, необходимого для успешной исследовательской и аналитической работы в современных областях социально-экономической и управленческой деятельности. В курсе даются базовые понятия теории вероятностей – случайные события и расчет вероятностей, дискретные и непрерывные случайные величины, способы их задания и нахождение различных числовых характеристик, основные законы распределения случайных величин, их свойства и применение, производящие и характеристические функции, многомерные случайные величины. Для освоения дисциплины необходимы знания математики в рамках школьной программы и математического анализа в рамках вузовской программы. Дисциплина является базовой для множества дальнейших статистических и прикладных курсов – таких как: Математическая статистика, Эконометрика, Микро- и макроэкономическая статистика; Многомерные статистические методы; Случайные процессы; Страхование и актуарные расчеты и Актуарные расчеты в страховании жизни; Статистическое моделирование социально-экономических процессов и др.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Формирование у студентов аналитического мышления, научного представления о случайных событиях и величинах, о методах их исследования.
  • Формирование устойчивой системы знаний основ теории вероятностей - случайных событий, способов нахождения их вероятностей и случайных величин, нахождения различными способами их законов распределения, числовых характеристик, взаимосвязи между несколькими случайными величинами и т.д.
  • Развитие у студентов навыков формализации встречающихся в реальной практике задач и приведения их к вероятностной математической модели, оценки такой модели и интерпретации полученных результатов
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать основные термины, определения случайных событий, уметь рассчитывать их вероятности в условиях различных вероятностных схем. Владеть элементами комбинаторики и уметь использовать ее в расчете вероятности с помощью классического определения
  • Знать виды случайных событий, основные теоремы сложения и умножения вероятностей и уметь рассчитывать вероятности различных комбинаций зависимых/независимых, совместных/несовместных событий
  • Знать и уметь определять виды случайных величин и способы их задания, рассчитывать функции распределения и ряда распределения/ функций плотности вероятностей, числовые характеристики случайных величин. Знать основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин и их свойства, особенности применения.
  • Знать определения, вывод и свойства производящих и характеристических функций случайных величин и расчет с их помощью моментов, распределения суммы независимых случайных величин и других задач; уметь рассчитывать производящие и характеристические функции для любых случайных величин.
  • Знать многомерные случайные величины, их свойства и характеристики. Уметь решать задачи, связанные с двумерными случайными величинами.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Раздел 1. Случайные события
    Тема 1. Случайные события и их вероятности Предмет теории вероятностей. Случайные события. Классификация событий. Операции над случайными событиями и их свойства. Геометрическая интерпретация действий над случайными событиями с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Вероятность события. Дискретное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности и область его применимости. Элементы комбинаторики. Статистическое определение вероятности. Непрерывное вероятностное пространство. Геометрическое определение вероятности и область его применимости. Понятие об аксиоматике А.Н.Колмогорова. Аксиоматическое определение вероятности. Алгебра событий. Поле вероятностей, σ-алгебра событий. Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теоремы сложения вероятностей для несовместных случайных событий. Теоремы сложения вероятностей для двух, трех и n совместных случайных событий. Независимые и зависимые случайные события. Условная вероятность. Теоремы умножения для зависимых и независимых событий. Тема 3. Формула полной вероятности и формула Байеса Формула полной вероятности. Формула Байеса. Область применения и научное значение. Априорные и апостериорные вероятности. Тема 4. Повторные независимые испытания Повторные независимые испытания. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в испытаниях Бернулли. Частные и общие теоремы о повторении опытов с одинаковой и разными вероятностями исходов и с несколькими исходами. Асимптотические (приближенные) формулы для испытаний Бернулли. Приближение биномиального распределения при большом числе испытаний к нормальному. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Приближение формулы Бернулли при большом числе испытаний формулой Пуассона. Теорема Пуассона. Условия применимости.
  • Раздел 2. Случайные величины
    Тема 5. Дискретная случайная величина. Ряд распределения, функция распределения дискретной случайной величины и её свойства. Числовые характеристики – математическое ожидание и дисперсия, начальные и центральные моменты, мода, медиана, квантили, квартили, коэффициенты асимметрии и эксцесса дискретной случайной величины. Основные законы распределения дискретных случайных величин – биномиальный, пуассоновский, геометрический, гипергеометрический, отрицательный биномиальный. Производящая функция неотрицательной целочисленной дискретной случайной величины. Определение, связь с рядом распределения, связь с моментами случайной величины. Вывод математического ожидания и дисперсии. Производящая функция суммы независимых случайных величин. Тема 6. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины. Теорема о вероятности отдельно взятого значения. Числовые характеристики – математическое ожидание и дисперсия, начальные и центральные моменты, мода, медиана, квантили, квартили, коэффициенты асимметрии и эксцесса случайной величины. Основные законы распределения непрерывных случайных величин - равномерный, логнормальный, экспоненциальный, гамма-распределение, распределение Пирсона (χ2), Стьюдента (t - распределение), Фишера-Cнедекора (F-распределение). Связи распределений. Тема 7. Нормальный закон распределения. Функция плотности вероятности – функция Гаусса - и её свойства. Характеристики формы кривой. Функция распределения. Функция Лапласа. Математическое ожидание и дисперсия нормальной случайной величины. Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. Правило трёх сигм. Стандартный (нормированный) нормальный закон распределения и его свойства. Тема 8. Закон больших чисел. Лемма Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Условия применимости. Закон больших чисел в форме теоремы Маркова. Теорема Хинчина. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Центральная предельная теорема и её значение. Теорема Ляпунова (частный случай, классическая ЦПТ). Следствия. ЦПТ Линдеберга. ЦПТ Ляпунова. Тема 9. Производящие и характеристические функции. Производящая функция (Probability-generating function, PGF) неотрицательной целочисленной дискретной случайной величины. Производящая функция моментов (Moment-generating function, MGF) для дискретной и непрерывной случайной величины. Производящая функция семиинвариантов (полуинвариантов, кумулянт) (semi-invariants, cumulants) случайной величины. Характеристическая функция (Characteristic function) случайной величины и ее основные свойства. Их основные свойства, связь с моментами случайной величины, использование при суммировании независимых случайных величин. Семиинварианты (полуинварианты) случайной величины и их свойства, использование для нахождения моментов случайной величины. Теорема о непрерывном соответствии. Тема 10. Многомерная случайная величина. Двумерные дискретные случайные величины. Одномерные (маргинальные) распределения. Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной дискретной случайной величины. Двумерные непрерывные случайные величины. Функция плотности вероятности и функция распределения двумерной непрерывной случайной величины и их свойства. Плотности распределения отдельных величин, образующих двумерную непрерывную случайную величину (маргинальные распределения). Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной случайной величины. Выражение условных плотностей распределения через безусловные. Теорема умножения вероятностей/плотностей распределения для дискретных/ непрерывных случайных величин. Независимость случайных величин. Связь между коррелированностью/ некоррелированностью случайных величин и их зависимостью/ независимостью. Начальные и центральные моменты порядка k+s двумерной случайной величины. Ковариация (корреляционный момент) двух случайных величин. Её свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Понятие некоррелированных случайных величин. Связь между коррелированностью/некоррелированностью случайных величин и их зависимостью/независимостью. Двумерный нормальный закон распределения. Его параметры. Функция плотности вероятности. Теорема о связи между некоррелированностью и независимостью двух нормально распределенных случайных величин.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Текущий контроль аудиторной и самостоятельной работы
  • неблокирующий Домашняя контрольная работа 1
    Индивидуальная домашняя контрольная работа по 1 разделу по вариантам (выдаваемым преподавателем), состоящая из 7 задач на 1-4 темы курса.
  • неблокирующий Аудиторная контрольная работа 1
    Письменная работа на 1 пару (80 минут) на 1 раздел курса
  • неблокирующий Домашняя контрольная работа 2
    Индивидуальная домашняя контрольная работа по вариантам (выдаваемым преподавателем), состоящая из 8 задач на 5-10 темы курса. Сдается в два этапа: на темы 5-9 на 13-14 неделе, последние 2 задачи на 10 тему – на последней неделе семестра (16-17 неделя).
  • неблокирующий Аудиторная контрольная работа 2
    Письменная работа на 1 пару (80 минут) на 2 раздел курса
  • неблокирующий ЭКЗАМЕН
    Письменная работа, включающая как теоретические вопросы и доказательства, так и расчетные задачи по всем темам курса на 150 минут.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.125 * Аудиторная контрольная работа 1 + 0.125 * Аудиторная контрольная работа 2 + 0.05 * Домашняя контрольная работа 1 + 0.05 * Домашняя контрольная работа 2 + 0.15 * Текущий контроль аудиторной и самостоятельной работы + 0.5 * ЭКЗАМЕН
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Мхитарян, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин; под ред. В. С. Мхитаряна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013. - (Университетская серия). - ISBN 978-5-4257-0106-0. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/451329
  • Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т.1: Теория вероятностей и прикладная статистика, Айвазян С. А., Мхитарян В. С., 2001
  • Теория вероятностей : Учебник для вузов, Вентцель Е. С., 2002
  • Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие, Мхитарян В. С., Астафьева Е. В., 2013

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Вероятность. Кн. 1: Вероятность - 1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы, Ширяев А. Н., 2004
  • Гмурман В. Е.-ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 12-е изд. Учебник для СПО-М.:Издательство Юрайт,2019-479-Профессиональное образование-978-5-534-00859-3: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-433406
  • Калинина В. Н.-ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 2-е изд., пер. и доп. Учебник для СПО-М.:Издательство Юрайт,2019-472-Профессиональное образование-978-5-9916-8773-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-433801
  • Комбинаторика, Виленкин Н. Я., Виленкин А. Н., 2013
  • Кремер Н. Ш.-ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 5-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-538-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-10004-4: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/teoriya-veroyatnostey-i-matematicheskaya-statistika-431167
  • Кремер Н. Ш.-ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-271-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-9888-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/teoriya-veroyatnostey-433670
  • Пугачев, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Пугачев В.С. — Москва : КноРус, 2017. — 496 с. — ISBN 978-5-4365-1551-9. — URL: https://book.ru/book/922288 (дата обращения: 10.10.2019). — Текст : электронный.
  • Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов, Вентцель Е. С., Овчаров Л. А., 2003
  • Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для вузов, Гмурман В. Е., 2006
  • Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Колемаев В. А., Калинина В. Н., 2003
  • Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов, Кремер Н. Ш., 2006
  • Теория вероятностей и математическая статистика : Учебник для вузов, Пугачев В. С., 2002
  • Теория вероятностей и математическая статистика в задачах : более 360 задач и упражнений, Борзых Д. А., 2016
  • Теория вероятностей и математическая статистика с использованием MS EXCEL. Ч. 1: Теория вероятностей, Мхитарян, В. С., 2019
  • Теория вероятностей, Боровков А. А., 2003