• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Теория вероятностей

Статус: Курс обязательный (Физика)
Направление: 03.03.02. Физика
Кто читает: Факультет физики
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Целью курса является развитие навыков работы со случайными величинами и процессами. Изложение формального аппарата сопровождается интуитивным анализом конструкций и результатов. При этом для определения самих объектов – случайной переменной, вероятности, плотности вероятности (функции распределения) достаточно именно интуитивных представлений без какого-либо использования теории меры. Особенностью курса является большое число конкретных примеров вероятностных распределений, на которых иллюстрируются общие положения. К ним относится, в частности, класс распределений Леви-Парето, играющие важную роль в физике лазерного охлаждения атомов. Центральное место в курсе занимает комплекс асимптотических результатов теории вероятностей, включающий, наряду с законом больших чисел и классической центральной предельной теоремой, обобщение последней для устойчивых законов и теоремы о предельных распределениях экстремальных значений и больших уклонений. Математическое введенное понятие энтропии связывается также с функционалом действия – объектом, играющем важную роль в физике. Назначение раздела, посвященного математической статистике — ознакомить слушателей с основными концепциями и постановками задач математической статистики и показать связь математической статистики и теории информации с теорией вероятностей, прежде всего с теорией больших уклонений. Заключительный раздел курса содержит традиционный материал по основам теории цепей Маркова. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении учебных дисциплин: ● Математический анализ ● Линейная алгебра ● Дифференциальные уравнения ● Элементы математического аппарата физики Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: ● Квантовая механика ● Статистическая физика ● Механика сплошных сред ● Нелинейная динамика и хаос
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью курса является развитие навыков работы со случайными величинами и процессами. Изложение формального аппарата сопровождается интуитивным анализом конструкций и результатов. При этом для определения самих объектов – случайной переменной, вероятности, плотности вероятности (функции распределения) достаточно именно интуитивных представлений без какого-либо использования теории меры. Особенностью курса является большое число конкретных примеров вероятностных распределений, на которых иллюстрируются общие положения. К ним относится, в частности, класс распределений Леви-Парето, играющие важную роль в физике лазерного охлаждения атомов. Центральное место в курсе занимает комплекс асимптотических результатов теории вероятностей, включающий, наряду с законом больших чисел и классической центральной предельной теоремой, обобщение последней для устойчивых законов и теоремы о предельных распределениях экстремальных значений и больших уклонений. Математическое введенное понятие энтропии связывается также с функционалом действия – объектом, играющем важную роль в физике. Назначение раздела, посвященного математической статистике — ознакомить слушателей с основными концепциями и постановками задач математической статистики и показать связь математической статистики и теории информации с теорией вероятностей, прежде всего с теорией больших уклонений. Заключительный раздел курса содержит традиционный материал по основам теории цепей Маркова. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении учебных дисциплин: ● Математический анализ ● Линейная алгебра ● Дифференциальные уравнения ● Элементы математического аппарата физики Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: ● Квантовая механика ● Статистическая физика ● Механика сплошных сред ● Нелинейная динамика и хаос
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • уметь решать задачи по теории вероятности с непрерывными и дискретными случайными величинами
  • знать основные понятия теории вероятности
  • знать центральную предельную теорему
  • уметь решать задачи на сходимость по вероятности
  • знать концепцию энтропии и уметь ей пользоваться
  • знать свойства броуновского движения
  • владеть концепцией цепей Маркова
  • уметь оценивать параметры и проверить гипотезы
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Случайные величины и распределения вероятности. биномиальное, геометрическое, пуассоново.
    Дискретные случайные величины: случайная величина и ее распределение вероятности; математическое ожидание и моменты; совместное распределение пары случайных величин, маргинальные и условные распределения; производящие функции распределения и моментов; примеры распределений, связанных с последовательностью независимых испытаний: биномиальное, геометрическое, пуассоново. Непрерывные случайные величины: непрерывные, атомарные, сингулярные распределения; кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности; математическое ожидание и моменты; формула замены переменных; совместное распределение пары величин и условные плотности; характеристическая функция, характеристический показатель и кумулянты; примеры непрерывных распределений (показательное, нормальное, логарифмически нормальное, Коши). Случайные векторы: многомерная кумулятивная функция распределения; матрица ковариации, коэффициенты корреляции, главные компоненты; независимость в совокупности; контрпример С.Н.Бернштейна; кумулянты и кластерное разложение; многомерное распределение Гаусса.
  • Асимптотические теоремы теории вероятностей.
    Асимптотические теоремы теории вероятностей. Закон больших чисел и сходимость по вероятности: последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин; неравенство Чебышёва; закон больших чисел; сходимость по вероятности последовательности случайных величин; сходимость кумулятивных функций распределения и характеристических функций. Центральная предельная теорема: вывод центральной предельной теоремы методом характеристических функций в случае конечной дисперсии; контрпример - распределение Коши; распределения Леви-Парето как пределы распределений с «тяжелыми хвостами». Экстремальные значения: нарушение закона больших чисел в случае «тяжелых хвостов»; порядковые статистики и их кумулятивные функции распределения; типичное наибольшее значение и предельная теорема Фишера-Типпета-Гнеденко; распределения, устойчивые относительно сложения и максимизации; устойчивость и универсальность. Большие уклонения: случайное блуждание по целым точкам; типичные траектории и их статистический вес; теорема Шеннона и принцип больших уклонений в схеме Бернулли с конечным числом исходов; принцип больших уклонений для суммы непрерывных величин (вывод методом стационарной фазы); функция Крамера и преобразование Лежандра.
  • Информация и статистический вывод.
    Правдоподобие, энтропия и информация: пространство элементарных событий, разбиения и алгебры событий; вероятностная мера и условные вероятности; энтропия как мера неопределенности по Хартли и Шеннону; условная энтропия и взаимная информация; формулы полной вероятности и Байеса, правдоподобие; задача различения распределений и относительная энтропия (информационное отклонение); функция правдоподобия, энтропия и информационное отклонение в непрерывном случае; информация по Фишеру. Оценивание параметров: генеральная совокупность, параметры, статистики, оценки; метод выборочного распределения; состоятельность и несмещенность; неравенства Рао-Крамера и эффективность оценок; оценки максимального правдоподобия. Проверка гипотез: критерии согласия (хи-квадрат, G-тест, критерий Колмогорова-Смирнова); выбор из двух простых гипотез, ошибки I и II рода; критерий отношения правдоподобия.
  • Цепи Маркова.
    Конечные цепи Маркова: вероятности перехода и стохастические матрицы; маргинальное распределение вероятности; случайное блуждание на графе, поток вероятности; стационарное распределение; частные случаи симметричной матрицы и детального равновесия; классификация состояний конечной цепи Маркова; стационарные распределения и поглощающие классы. Существование стационарного распределения: принцип сжимающих отображений для положительной стохастической матрицы; неприводимость, цикличность, перемешивание; стационарное распределение неприводимой ациклической цепи Маркова; скорость сходимости и спектр матрицы перехода; теорема Крылова-Боголюбова. Случайное блуждание и броуновское движение: случайное блуждание и его непрерывный предел; асимметричное случайное блуждание, дрейф и диффузия; уравнение Фоккера-Планка; блуждание в непроницаемых и поглощающих границах; момент первого достижения. Цепь Маркова в непрерывном времени и процесс Пуассона: характеристическое свойство показательного распределения; процесс Пуассона, телеграфный процесс, процесс скачков; уравнение марковской эволюции; «H-теорема» для цепи Маркова с детальным равновесием. 14
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания
  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Промежуточный контроль предусматривает 2 домашних задания, выполняемых в 1 и 2 модулях (в октябре и ноябре). Домашнее задание включает проработку теоретического материала на примере конкретных задач. Домашнее задание выдается студентам дистанционно. По домашнему заданию оформляется отчет в электронном виде. В установленный срок студент представляет архив, содержащий полностью оформленный отчет. Оценка за домашнее задание выставляется с учетом полноты выполнения задания и оформления результатов. Самостоятельная работа студентов предполагает выполнение заданий к семинарам, посещение семинаров и лекций и активную работу на семинарах. Итоговый контроль: экзамены в конце 2 модуля. Проводится в устной форме. Экзамен проводится в форме устной беседы по тематике дисциплины (беседа 30 мин. после самостоятельной подготовки в течение 30 мин.). В билете на экзамене содержатся два устных вопроса и задача. Финальная оценка за работу в семестре равна S = 0.2R + 0.4D1 + 0.4D2, где R – оценка за самостоятельную работу, D1, D2 – оценки за первое и второе домашнее задание. Студенты, у которых S = 10, освобождаются от устного экзамена и получают итоговую оценку 10. Студенты c оценкой S = 9 или S = 8 могут либо получить эту оценку без экзамена, либо сдавать экзамен. Итоговая оценка за курс равна 0.6S + 0.4E, где E – оценка за устный экзамен.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2: ., Феллер В., Прохорова Ю. В., 1984
  • Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1: ., Феллер В., 1984

Рекомендуемая дополнительная литература

  • АРИСТОВА Е.Ю. (2015). Содержание Курса «Теория Вероятностей И Математическая Статистика» В Техническом Вузе. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsbas&AN=edsbas.DABE4485