• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Специалитет 2019/2020

Алгебра

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Компьютерная безопасность)
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Специальность: 10.05.01. Компьютерная безопасность
Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к базовой части математического и естественно-научного цикла дисциплин. В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции: способность учится, приобретать новые знания и умения, в том числе в области, отличной от профессиональной ( СК-Б1); способность совершенствовать и развивать свой интеллектуальный и культурный уровень, строить траекторию профессионального развития и карьеры (СК-М4); способность решать проблемы в профессиональной деятельности на основе анализа и синтеза (СК-Б4); способность работать с информацией: находить, оценивать и использовать информацию из различных источников, необходимую для решения научных и профессиональных задач ( в том числе на основе системного подхода ) (СК-Б6); способность корректно применять при решении профессиональных задач аппарат математических и естественных наук (ИК-С2); способность использовать современные методы поиска и обработки информации из различных источников в профессиональной деятельности (ИК-С3).
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с понятиями линейной алгебры как основы значительной части математического аппарата дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин.
  • Освоение основных приемов решения практических задач по темам дисциплины;
  • Развитие способности интерпретации формальных алгебраических структур, развитие четкого логического мышления
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знание базовых понятий дисциплины
  • Понимание доказательств ключевых теорем курса
  • Навыки использования математического аппарата дисциплины в дальнейшей учебной и профессиональной деятельности
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Алгебра матриц
    Определение и свойства основных операций над матрицами: умножение матрицы на число, сложение матриц, умножение матриц, транспонирование матриц. Элементарные преобразования матриц и элементарные матрицы. Теорема о связи между элементарными преобразованиями матриц и умножением матрицы на элементарную. Приведение матрицы к ступенчатому и главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
  • Системы линейных алгебраических уравнений. Линейное пространство Rn
    Классификация системы линейных алгебраических уравнений (далее СЛУ). Матрицы, связанные с СЛУ. Равносильность СЛУ с эквивалентными матрицами. Метод Гаусса решения СЛУ. Свойства решений однородных СЛУ.
  • Линейное пространство Rn
    Пространство Rn , линейно зависимые и независимые системы векторов в Rn. Сохранение линейных соотношений между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях ее строк. Лемма о линейной зависимости. Базис системы векторов, теорема о его существовании. Ранг системы векторов. Ранг матрицы и способ его нахождения. Теорема Кронекера – Капелли. Линейные подпространства Rn , заданные системой линейных однородных уравнений. Нахождение базиса и размерности такого подпространства. Линейные оболочки систем векторов. Нахождение их базиса и размерности. Терема о связи между множеством решений неоднородной СЛУ и подпространством решений соответствующей однородной СЛУ.
  • Определители
    Определители порядка n и их основные свойства. Примеры вычисления определителей с помощью элементарных преобразований матрицы. Алгебраические дополнения и миноры. Теорема о связи между ними. Теорема о разложении определителя по строке. Теорема об определителе произведения матриц. Обратная матрица и способы ее нахождения. Теорема и формулы Крамера.
  • Вещественные евклидовы пространства
    Определение и примеры евклидовых пространств. Неравенство Коши – Буняковского, длина вектора в евклидовом пространстве и ее свойства. Ортогональные системы векторов и процесс ортогонализации. Теорема об изоморфизме конечномерных евклидовых пространств. Теорема о проекции вектора на подпространство. Задача о наилучшем приближении. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Метод наименьших квадратов и примеры его применения.
  • Поле комплексных чисел и кольцо многочленов
    Определение комплексных чисел. Действия над комплексными числами. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Формула Муавра. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Определение и примеры полей. Кольцо многочленов с коэффициентами в поле. Наибольший делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида и его следствия. Корни многочленов. Теорема Безу. Кратность корня. Отделение кратных корней. Теорема Гаусса. Неприводимые многочлены. Описание неприводимых многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами. Разложение многочлена на неприводимые многочлены. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
  • Линейные пространства над полем
    Определение и примеры линейных пространств Линейная зависимость и независимость систем векторов. Бесконечномерные и конечномерные линейные пространства. Базис и размерность линейных пространств. Координаты векторов и их изменение при замене базиса. Теорема об изоморфизме линейных пространств.
  • Линейные отображения и линейные операторы
    Определение и примеры линейных отображений. Линейное пространство л. Матрицы линейных отображений и их свойства. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов, способ их нахождения. Достаточные условия и критерии диагонализуемости оператора. Жорданова форма матрицы. Функции от матриц. Свойства жордановых клеток и жордановых матриц. Теорема о существовании жордановой формы матрицы и способ нахождения жордановой формы. Функции от матриц и от операторов.
  • Комплексные евклидовы пространства
    Определение и примеры комплексных евклидовых (унитарных) пространств. Неравенство Коши – Буняковского. Ортогональные системы векторов и процесс ортогонализации. Теорема об изоморфизме унитарных пространств одинаковой размерности. Комплексификация вещественных евклидовых пространств.
  • Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах
    Понятие сопряженного оператора. Его существование и единственность. Свойства операции сопряжения, матрица сопряженного оператора. Самосопряженные операторы и симметрические матрицы. Свойства собственных значений, собственных векторов и инвариантных подпространств самосопряженного оператора. Изометрические операторы и их свойства Ортогональные и унитарные матрицы..Канонический вид изометрического оператора. Описание ортогональных операторов на плоскости и в пространстве.
  • Билинейные и квадратичные формы
    Определение и примеры билинейных и квадратичных форм. . Матрицы билинейных и квадратичных форм. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Аудиторная работа
  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Домашняя работа + защита домашней работы
  • неблокирующий Зачёт
  • неблокирующий Итоговое испытание (4 модуль)
    Первый этап экзамена проводится в письменной форме по индивидуальным вариантам, которые будут выложены на платформе Google Class в 10-30 . По истечении часа , в течение 10 минут, ответы должны быть загружены в систему. Через час после этого на платформе Zoom пройдет устное обсуждение письменной части экзамена. Очередность подключения , а также идентификатор и пароль конференции будут сообщены после сдачи письменных работ. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. При долговременном нарушении связи ( более одной минуты) студент не может продолжить участие в устном экзамене. Переэкзаменовка будет проведена по той же системе.
  • неблокирующий Промежуточная аттестация (2 модуль)
  • неблокирующий контрольные работы
  • неблокирующий Домашние задания ,прием которых осуществляется в форме коллоквиума
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.2-контрольная работа, 0.3-домашняя работа, о.5 - экэамен
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * Домашняя работа + защита домашней работы + 0.5 * Итоговое испытание (4 модуль) + 0.2 * Контрольная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс алгебры, Винберг Э. Б., 2013
  • Лекции по линейной алгебре, Гельфанд И. М., 1971
  • Проскуряков И.В. - Сборник задач по линейной алгебре: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 476с. - ISBN: 978-5-8114-4044-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/114701

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Введение в алгебру : учебник для вузов, Кострикин А. И., 1977