Математические средства моделирования систем

Магистратура 2019/2020

Статус: Курс по выбору (Системы управления и обработки информации в инженерии)

Направление: 01.04.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Вульфсон Александр Наумович

Прогр. обучения: Системы управления и обработки информации в инженерии

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 52

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов по магистерской программе «Системы управления и обработки информации в инженерии», изучающих дисциплину «Математические средства моделирования систем». Курс включает основные сведения, необходимые для реализации полного цикла построения математических моделей, от математической постановки задачи до разработки программного обеспечения Программа разработана в соответствии с рабочим учебным планом университета по магистерской программе «Системы управления и обработки информации в инженерии». Программа разработана в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования по направлению подготовки 01.04.04 Прикладная математика (уровень магистратуры).

Цель освоения дисциплины

Формирование представлений, получение знаний, умений и навыков по методологии и основным принципам построения математических моделей разнообразных систем и процессов различной природы и назначения.
Изучение основных аналитических и численных методов построения математических моделей, а также обработки и анализа результатов модельных экспериментов.
Реализация математических моделей с использованием современных вычислительных методов и алгоритмов.
Исследование характеристик поведения реальных или проектируемых систем с помощью проведения аналитических и численных экспериментов с использованием их математических моделей.
Выработка практических навыков анализа результатов модельных экспериментов.
Обучение студентов принципам построения вычислительных алгоритмов, прививание навыков выполнения вычислительных работ на ЭВМ.

Планируемые результаты обучения

Иметь представление об общих понятиях теории и практики моделирования. Знать типовые классы математических моделей.
Знать классификацию моделируемых систем по типу поведения. Иметь представление о задачах на собственные значения.
Знать основные этапы построения и планирования экспериментов с математической моделью. Уметь решать уравнения теплопроводности проекционным методом Фурье. Умень реализовать имитационную модель и проводить моделирование.
Знать типовые классы математических моделей. Уметь решать стационарные задачи итерационными методами. Уметь строить имитационную модель для типовых математических моделей.
Знать основы планирования экспериментов с математическими моделями. Уметь решать однородную систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Иметь представление о математической модели, физическом и математическом моделировании. Знать аналитические и численные методы построения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Уметь оценивать адекватность модели и анализировать результаты моделирования. Знать метод Галёркина и ортогональные разложения.
Знать возможности реализации типовых моделей средствами вычислительной техники. Иметь представление об основных целях и задачах проведении экспериментов с математическими моделями. Знать метод Ритца. Иметь представление о функционале Ритца.

Содержание учебной дисциплины

Функциональные пространства и операторы
Евклидовы пространства. Пространство Соболева. Оператор Штурма-Лиувилля и матричный оператор. Симметричность оператора Штурма-Лиувилля и матричного оператора в евклидовом и энергетическом пространствах. Необходимые и достаточные условия положительной определённости оператора Штурма-Лиувилля и матричного оператора. Преобразование Гаусса линейной алгебраической системы. Краевые условия и положительная определённость.
Задача на собственные значения
Задача на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля и теорема Стеклова. Задача на собственные значения для симметричного матричного оператора. Критерий Гершгорина. Ортогональные разложения по собственным элементам. Спектральные условия положительной определённости линейного непрерывного оператора. Теоремы Гильберта.
Уравнения с положительно определенными операторами.
Операторная форма дифференциальных уравнений. Существование, единственность и корректность задач с положительно определёнными операторами Решение уравнения Пуассона методом Крылова. Решение уравнения теплопроводности проекционным методом Фурье. Разностные схемы, сохраняющие положительную определённость и симметричность операторов дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Схема Самарского-Тихонова. Схема Кранка-Никольсон. Дифференциально-разностные и разностные уравнения Пуассона и теплопроводности.
Принцип стационирования и решение стационарных операторных уравнений.
Операторный ряд Неймана и достаточные условия его сходимости. Матричный ряд Неймана необходимые и достаточные условия его сходимости. Принцип сжимающих отображений и ряд Неймана. Принцип стационирования для задач с положительно определёнными операторами. Устойчивость по Ляпунову. Итерационные методы решения стационарных задач. Схема Ричардсона. Схема Самарского.
Методы расщепления.
Матричный экспоненциал и его свойства. Решение однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Разностные схемы по времени как приближения матричного экспоненциала. Метод дробных шагов Яненко и Самарского Метод Марчука. Метод Писмена-Рекфорда.
Общие понятия физического и математического моделирования. Теория подобия и автомодельные решения.
Понятие математической модели, физическое и математическое моделирование. Механические системы. Дифференциальные уравнения и краевые условия. Размерные и безразмерные параметры Критерии подобия. Реализация теории подобия и размерности в моделировании. Безразмерные формы дифференциальных уравнений модели, включающие параметры моделирования. Упрощение моделей, включающих большие и малые параметры моделирования. Ограничения физического и математического моделирования (сохранение параметров подобия) Автомодельные решения уравнений в частных производных. Метод Грина для решения одномерных уравнений теплопроводности.
Метод Галёркина.
Метод Галёркина и ортогональные разложения Ортогональные разложения по собственным элементам операторов с симметричными составляющими. Спектральный метод.
Метод Ритца.
Метод Ритца и приближенное вычисление минимума функционала в абстрактном евклидовом пространстве. Функционал Ритца и классическое решение уравнения Штурма-Лиувилля. Энергетическая форма функционала Ритца и обобщённое решение уравнения Штурма-Лиувилля. Метод конечных элементов для краевой задачи уравнения Штурма-Лиувилля.

Элементы контроля

устный экзамен
самостоятельная работа
1. Аналитические решения заданий самостоятельной работы обязательно должны содержать проверку. Текст самостоятельной работы должен быть набран в формате, совместимым с MS Word, с обязательной нумерацией страниц. В случае невыполнения правил оформления, работа оценивается по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.8. 2. Печатная форма самостоятельной работы подается для проверки и используется на защите работы. Электронная форма самостоятельной работы высылается на e-mail, указанный преподавателем. Проверка печатной и электронной форм задания формирует предварительную оценку. При отсутствии электронной формы на e-mail преподавателя в период времени, указанный ниже, самостоятельная работа не засчитывается и оценивается нулём. 3. Электронная форма самостоятельной работы предоставляется не позднее начала 2-го модуля. Выполненные в этот срок задания могут быть один раз доработаны с последующей коррекцией предварительной оценки. 4. К проверке также допускаются работы, электронные формы которых представлены во 2-м модуле ранее 7 дней до его окончания. 5. Работы, поданные в первой половине 2-го модуля, предварительно оцениваются по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.8 и не допускают доработку. В случае нарушения правил оформления 1 соответствующие понижающие коэффициенты перемножаются. 6. Работы, поданные во второй половине 2-го модуля, но ранее 7 дней до его окончания, предварительно оцениваются по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.6 и не допускают доработку. В случае нарушения правил оформления 1 соответствующие понижающие коэффициенты перемножаются. 7. Работы, поданные позднее, чем за 7 дней до окончания 2-го модуля, не принимаются к рассмотрению и оцениваются нулём. Нулевая оценка является окончательной и не подлежит коррекции. 8. Окончательная оценка самостоятельной работы опирается на её предварительную ненулевую оценку с учётом представленных исправлений и устанавливается после её защиты студентом на соответствующем семинаре (или экзамене). Окончательная оценка не подлежит коррекции.
аудиторный опрос

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.1 * аудиторный опрос + 0.2 * самостоятельная работа + 0.7 * устный экзамен

Программа дисциплины