Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2019/2020

Статус: Курс обязательный (Социология)

Направление: 39.03.01. Социология

Кто читает: Департамент социологии

Где читается: Факультет социальных наук

Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Габелко Мария Владимировна, Макаров Алексей Алексеевич, Пашкевич Анна Валерьевна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 94

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный предмет включает в себя изучение и практическое освоение ключевых понятий и подходов теории вероятностей, математической статистики и базовых моделей статистического анализа данных в социальных науках, приобретение концептуального понимания специфики работы с количественными данными, понимания типов задач, которые могут быть решены с помощью математико-статистических методов.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины является изучение основных понятий и подходов теории вероятностей, математической статистики и базовых методов количественного анализа, позволяющих работать с данными в соответствии с концептуальным пониманием их специфики и математической формализацией задач.

Планируемые результаты обучения

Умение решить математические задачи соответствующего профиля: элементы комбинаторики и её основные правила, вероятностное пространство и классическое определение вероятности.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: операции с событиями, формула сложения вероятностей, независимые события, условная вероятность.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: формула полной вероятности, формула Байеса (априорная и апостериорная вероятности событий).
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: нахождение закона распределения случайной величины и вычисление её основных параметров -- математического ожидания (среднего), дисперсии (вариации) и стандартного отклонения; решение задач на знание (понимание) свойств математического ожидания и дисперсии.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: процесс Бернулли (последовательность событий), математическое ожидание и дисперсия бинарной случайной величины, биномиальный закон распределения случайной величины.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: функция плотности, функция распределения (кривая накопленных вероятностей), понятие квантилей распределения.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: работа с графиками произвольного и стандартного нормального (z-)распределения, в решении задач применение свойств нормального распределения, работа с таблицей стандартного нормального распределения, вычисление вероятности искомых событий (заданных формализованным условием) для величин, описывающихся нормальным распределением с указанными параметрами -- математическим ожиданием и дисперсией.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: применение теоремы Муавра -- Лапласа в контексте случайной социологической выборки и оценки её погрешности; приближенные вычисления вероятности событий в приложениях теоремы Муавра -- Лапласа.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: закон больших чисел, его концептуальные и практические характеристики.
Освоение концептуальных понятий математической статистики, круг задач математико-статистических исследований.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: вычисление числовых характеристик выборки, диагностика статистических "выбросов", построение и визуальный анализ графиков.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: построение доверительных интервалов для среднего и процентной доли, статистическая и содержательная интерпретация доверительных интервалов.
Освоение базовых понятий в проверке статистических гипотез. Умение классифицировать два типа ошибок статистического вывода -- ошибка первого и второго рода. Освоение понятия "статистический уровень значимости".
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: анализ таблиц сопряженности (визуальный анализ процентных распределений по строкам и столбцам таблицы, критерий хи-квадрат), статистическое "прочтение" стандартизированных остатков в профилях таблицы; работа с разреженными профилями таблицы.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: диаграмма рассеяния, визуальный анализ корреляционного поля на графике, вычисление коэффициента линейной корреляции и коэффициентов ранговой (монотонной) корреляции. Содержательная интерпретация коэффициентов.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: проверка гипотезы о равенстве среднего определенному числу (константе); проверка гипотезы о равенстве процентной доли определенному числу (константе); проверка гипотезы об отсутствии среднего эффекта воздействия (в случае парных выборок).
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: проверка гипотезы о равенстве дисперсий; проверка гипотезы о равенстве средних (в случае независимых выборок).
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: проверка гипотезы в реализации однофакторного дисперсионного анализа.
Умение решить математические задачи соответствующего профиля: процесс Пуассона .

Содержание учебной дисциплины

Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент. Выбор из конечной совокупности. Пространство элементарных исходов (элементарных событий).
Классическое и статистическое определение понятия вероятности. Случайность как предмет изучения. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент. Пространство элементарных исходов (событий).
События и операции над ними.
Правила сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Зависимость и независимость событий. Совместимые и несовместимые события.
Формула полной вероятности и формула Байеса.
Полная группа событий. Формула полной вероятности. Априорные и апостериорные вероятности. Формула Байеса.
Случайные величины - дискретные и непрерывные. Характеристики случайной величины – математическое ожидание, дисперсия.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Математические операции со случайными величинами. Основные характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсия.
Испытания Бернулли. Биномиальное распределение.
Вероятность в дискретных пространствах. Последовательность (серия) испытаний Бернулли.
Распределение Пуассона
Редкие по вероятности случайные величины, которые могут быть описаны согласно закону распределения Пуассона.
Функция и плотность распределения случайной величины.
Функция и плотность распределения. Квантили распределения. Равномерное распределение, его числовые характеристики и квантили.
Нормальное распределение: произвольное и стандартное.
Нормальное распределение: ситуации возникновения, функция и плотность распределения. Произвольное и стандартное нормальное распределение. Работа с таблицами нормального распределения. Квантили распределения.
Теорема Муавра -- Лапласа. Центральные предельные теоремы.
Теорема Муавра -- Лапласа. Центральные предельные теоремы.
Закон больших чисел.
Закон больших чисел.
Введение в математическую статистику. Выборка и генеральная совокупность. Вероятностный отбор.
Объект и предмет математической статистики. Выборка и генеральная совокупность. Вероятностный отбор. Простая случайная выборка. Ключевые понятия и задачи математической статистики.
Данные и переменные. Описательная статистика -- меры центральной тенденции и меры разброса для разных типов шкал, статистические графики и их визуальное "прочтение".
Шкалы измерений (интервальная, порядковая, категориальная). Распределения и их характеристики. Среднее, медиана, мода, квартили, децили. Дисперсия и стандартное отклонение, квартильный размах, коэффициенты вариации. Несмещенная (исправленная) дисперсия выборки. Диагностика статистических "выбросов". Визуализация данных: гистограммы, коробчатые диаграммы.
Доверительные интервалы для среднего и процентной доли, погрешность выборки. Эффекты объема выборки.
Два вида оценивания: точечное и интервальное. Понятие стандартной ошибки. Доверительные интервалы: для среднего и процентной доли. Уровень доверительной вероятности, его содержательный смысл. Понятие предельной ошибки. Связь точности исследования и объема выборки исследования, его эффект. Стандартная ошибка малой выборки. Распределение Стьюдента. Понятие "число степеней свободы" в математической статистике.
Проверка статистических гипотез: Основные понятия, философия проверки, алгоритмы. Статистическая значимость. Ошибки статистического вывода, надежность статистического заключения.
Введение в проверку статистических гипотез. Базовые понятия: статистическая гипотеза, нулевая гипотеза, альтернативная гипотеза, направленные и ненаправленные альтернативные гипотезы, статистика критерия, фиксированный уровень значимости, минимальный уровень значимости (p-value), критическая область, ошибки 1 и 2 рода, статистический вывод и др. Примеры.
Проверка статистических гипотез: Совместное распределение переменных. Таблицы сопряженности. Критерий Хи-квадрат. Анализ стандартизированных остатков.
Понятие о двумерной частотной таблице и способах отражения в ее виде независимости рассматриваемых признаков. Ожидаемые частоты и наблюдаемые частоты. Логика проверки гипотезы об отсутствии связи между двумя номинальными (или рассматриваемыми как номинальные) признаками на основе критерия Хи-квадрат. Основная модель. Интерпретация остатков. Примеры.
Проверка статистических гипотез: Парные коэффициенты корреляции
Диаграмма рассеяния, её визуальный анализ, работа со статистическими "выбросами". Коэффициент линейной корреляции Пирсона, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла. Проверка статистических гипотез о корреляционной независимости. Соотнесение с ограничениями (требованиями) социологических шкал.
Проверка статистических гипотез: О равенстве среднего и процентной доли определенному числу (константе), об отсутствии среднего эффекта воздействия (в случае связных/парных выборок).
Правила и содержательный контекст проверки обозначенных гипотез. Статистические критерии проверки гипотез: t-критерий Стьюдента для одной выборки, z-критерий, t-критерий Стьюдента для парных (связных) выборок. Содержательный характер исследовательских задач. Примеры.
Проверка статистических гипотез: О равенстве дисперсий в двух группах, о равенстве средних в случае двух независимых выборок, о равенстве процентных долей в двух группах.
Правила и содержательный контекст проверки обозначенных гипотез. Статистические критерии проверки гипотез: F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента для двух независимых групп, z-критерий. Содержательный характер исследовательских задач. Примеры.
Проверка статистических гипотез: Дисперсионный анализ (ANOVA)
Дисперсионный анализ в математике. Однофакторный дисперсионный анализ. Основная модель, класс решаемых задач. Понимание причинно- следственной связи при использовании однофакторного дисперсионного анализа (модель). Примеры.

Элементы контроля

Письменный экзамен (модуль 1)
Проводится в сессию 1-го модуля
Контрольная работа №1 (модуль 1)
Контрольная работа №1 состоит из двух частей (А и B), распределенных во времени. Даты написания контрольных работ назначаются преподавателем заранее.
Академическая активность (модуль 1)
Оценка подразумевает вовлечённую академическую работу на протяжении 1-го модуля: решение задач у доски, ответы на вопросы, комплексное выполнение домашних заданий для закрепления изученного материала к каждому семинару. Оценивается в 10-балльной целочисленной шкале (с грейдами: 10, 9, 8, 7, …, 0 баллов).
Академическая активность (модуль 2)
Оценка подразумевает вовлечённую академическую работу на протяжении 2-го модуля: решение задач у доски, ответы на вопросы, комплексное выполнение домашних заданий для закрепления изученного материала к каждому семинару. Оценивается в 10-балльной целочисленной шкале (с грейдами: 10, 9, 8, 7, …, 0 баллов).
Контрольная работа №2 (модуль 2)
Контрольная работа №2 состоит из двух частей (C и D), распределенных во времени. Даты написания контрольных работ назначаются преподавателем заранее.
Письменный экзамен (модуль 2)
Проводится в сессию 2-го модуля.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (1 модуль)
0.1 * Академическая активность (модуль 1) + 0.3 * Контрольная работа №1 (модуль 1) + 0.6 * Письменный экзамен (модуль 1)
Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.1 * Академическая активность (модуль 2) + 0.3 * Контрольная работа №2 (модуль 2) + 0.4 * Письменный экзамен (модуль 2) + 0.2 * Промежуточная аттестация (1 модуль)

Программа дисциплины