Стохастические оценки и управление

Бакалавриат 2019/2020

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 4-й курс, 2, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Зотов Леонид Валентинович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 72

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Оценивание параметров и моделирование случайных процессов – классическая и крайне востребованная область, использующаяся в физике, биологии, финансовом анализе, при проектировании автоматических систем и др. В основу математического аппарата этого предмета заложены представления о случайном поведении животных и машин, принципы кибернетики, разработанные Винером, Колмогоровым, Беллманом, Понтрягиным и др. Содержание курса подчинено требованиям подготовки бакалавров по прикладной математике, специализирующихся в области программирования, проектирования информационных систем, исследования информационных и природных процессов. Курс дает возможность слушателям дисциплины, успешно завершившим обучение, применять статистические методы и соответствующие пакеты программ.

Цель освоения дисциплины

Изучение современных методов решения задач оценивания параметров, динамического моделирования физико-механических процессов и сложных систем, а также фильтрации, в том числе с использованием ЭВМ.
Дать представление о методах оценивания параметров случайных выборок.
Познакомить с математическим аппаратом, используемым в теории динамических систем.
С использованием матричной алгеброй пояснить принципы наблюдаемости и управляемости.
На примерах из физики и техники научиться использовать модели на основе систем дифференциальных уравнений, МНК и фильтр Калмана.

Планируемые результаты обучения

Понимание записи уравнений в терминах пространства состояний. Умение записать передаточную функцию.
Знакомство с основными характеристиками линейных систем.
Матричная запись многоканальных систем и их решений. Определение фундаментальной матрицы на расчетных примерах
Определение устойчивости на контрольных примерах.
Понимание задач управления
Понимание критериев управляемости
Решение примеров на принцип Максимума (управление ориентацией КА, мягкая посадка)
Понимание критериев наблюдаемости непрерывных систем
Понимание матричной регрессии
Понимание алгоритма фильтра Калмана
Умение подбирать параметры модели на основе МНК. Умение определять погрешность оценок параметров.
Понимание критериев наблюдаемости дискретных систем

Содержание учебной дисциплины

Динамические системы как объект управления и наблюдения
Типы динамических систем. Структурные схемы.
Линейные дифференциальные уравнения
Одноканальная динамическая система. Характеристики одноканальных систем.
Многоканальные динамические системы
Передаточная функция многоканальной системы. Дискретные системы. Стационарные системы.
Устойчивость стационарных дискретных систем
Установившееся решение. Фурье-преобразование. Корреляционная функция. Спектральная плотность мощности. Z-преобразование.
Управление динамическими системами
Импульсное управление. Управление дискретной системой. Критерии управляемости
Управляемость линейных стационарных систем
Непрерывные стационарные системы. Управляемость стационарных систем.
Оптимальное управление
Классификация задач оптимального управления. Принцип максимума.
Наблюдения и наблюдаемость
Наблюдаемость динамических систем. Наблюдаемость линейной системы.
Дискретные системы
Дискретные системы. Принцип двойственности. Оценивание параметров при наличии шумов.
Метод наименьших квадратов
Регрессии. Шумы. МНК- оценивание параметров. Теорема Гаусса-Маркова.
Рекурсивный алгоритм МНК
Рекурсивный МНК. Вероятностная интерпретация.
Фильтр Калмана
Общие сведения по теории фильтрации. Дискретный фильтр Калмана.

Элементы контроля

домашняя работа №1
домашняя работа №2
домашняя работа №3
письменная работа №1
домашняя работа №4
письменная работа №2
итоговый экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.1 * домашняя работа №1 + 0.1 * домашняя работа №2 + 0.1 * домашняя работа №3 + 0.1 * домашняя работа №4 + 0.2 * итоговый экзамен + 0.2 * письменная работа №1 + 0.2 * письменная работа №2

Программа дисциплины