Теория массового обслуживания

Бакалавриат 2019/2020

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Гришунина Юлия Борисовна

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к вариативной части блока профессиональных дисциплин. Для специализации «Прикладные методы стохастического анализа» настоящая дисциплина является обязательной. В результате освоения дисциплины студент должен знать: определение, классификацию и структуру систем массового обслуживания; постановки задач, возникающие при анализе эффективности функционирования СМО; элементы теории вероятностей и теории случайных процессов, используемые при исследовании систем массового обслуживания; методику расчета показателей качества обслуживания; способы и средства повышения эффективности функционирования СМО; уметь: вычислять показатели качества обслуживания; строить математические модели функционирования СМО; применять аналитические методы теории вероятностей и теории случайных процессов для вычисления характеристик СМО; владеть: аналитическими методами расчета показателей качества обслуживания и соответствующим математическим аппаратом; методами оптимизации структуры СМО и процесса обслуживания с целью повышения эффективности их функционирования; навыками разработки математических моделей технических и экономических систем и процессов, связанных с обслуживанием.

Цель освоения дисциплины

Получение знаний о прикладных задачах управления, приводящих к математическим моделям теории массового обслуживания
Получение представления о математических методах, используемых при анализе систем массового обслуживания (СМО)
Формирование навыков математического моделирования процессов обслуживания и умения с помощью математических методов оценивать качество управления обслуживанием

Планируемые результаты обучения

Знание элементов теории вероятностей и теории случайных процессов, используемых при исследовании систем массового обслуживания
Умение строить математические модели функционирования СМО, владение аналитическими методами расчета показателей качества обслуживания и соответствующим математическим аппаратом

Содержание учебной дисциплины

Простейший поток однородных событий
Свойства экспоненциального распределения. Распределение Эрланга. Простейший поток одно-родных событий: определение и свойства: независимость приращений, свойство отсутствия последействия, ординарность, стационарность. Распределение числа событий простейшего потока на интервале (0;t). Связь экспоненциального распределения, распределения Эрланга и распределения Пуассона.
Марковские процессы с непрерывным временем
Марковские процессы с непрерывным временем: определение и способы задания. Интенсивности перехода и выхода. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Предельное распределение. Процессы гибели и размножения.
Процессы восстановления
Процессы восстановления: простой, с запаздыванием, альтернирующий. Функция восстановления. Интегральное уравнение восстановления. Элементарная теорема восстановления. Узловая теорема восстановления. Прямое (перескок) и обратное (недоскок) время возвращения. Вероятность попадания на четный или нечетный интервал для альтернирующего процесса.
Некоторые функциональные преобразования
Производящая функция и ее свойства. Нахождение математического ожидания неотрицательной дискретной случайной величины с помощью про-изводящей функции. Решение дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса с помощью производящей функции. Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Их свойства. Решение дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса с помощью преобразования Лапласа.
Структура, описание и схема исследования системы массового обслуживания
Понятие системы массового обслуживания Структура системы массового обслуживания: входящий поток требований, процесс обслуживания, обслуживающие приборы, очередь, дисциплина обслуживания. Символика Кендалла. Схема исследования СМО. Показатели качества обслуживания: среднее время обслуживания, вероятность потери заявки, средняя длина очереди, функция распределения и математическое ожидание времени ожидания начала обслуживания, функция распределения и математическое ожидание времени пребывания заявки в очереди, производительность системы, функционал среднего удельного дохода
Марковские модели систем массового обслуживания
Система М|М|n|0. Формулы Эрланга. Вероятность потери заявки. Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами. Инфинитезимальные характеристики ПГР, описывающего данную систему. Математическое ожидание длины очереди. Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция распределения времени пребывания заявки в очереди. Система М|М|n|N. Инфинитезимальные характеристики ПГР, описывающего данную систему. Математическое ожидание длины очереди. Функция распределения времени ожидания начала обслуживания при условии, что заявка принята в очередь. Вероятность потери заявки. Система М|М|n|оо с нетерпеливыми клиентами. Существование предельного распределения ПГР, описывающего функционирование системы. Математическое ожидание длины очереди. Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция распределения времени пребывания заявки в очереди. Система М|М|n|оо. Условие существования предельного распределения ПГР, описывающего функционирование системы. Функция распределения времени ожидания начала обслуживания. Математическое ожидание длины очереди.
Системы массового обслуживания с приоритетами.
Системы с приоритетами. Относительный и абсолютный приоритет. Система М|М|1|0 с приоритетами. Предельное распределение марковского процесса, описывающего функционирование системы. Вероятность потери заявки первого и второго типа.
Простейшие немарковские модели систем массового обслуживания
Система М|G|1|оо. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной Марковской цепи. Производящая функция для стационарного распределения вложенной цепи. Период занятости. Основной закон стационарной очереди. Математическое ожидание длины очереди. Доказательство основного закона стационарной очереди. Вывод формулы для математического ожидания длины очереди. Система G|M|1|оо. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной марковской цепи. Производящая функция для стационарного распределения вложенной цепи. Формула для стационарного распределения вложенной цепи. Предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование системы.

Элементы контроля

Самостоятельная работа студентов
Контрольная работа
Переписывание контрольной работы или отдельных заданий для повышения оценки не допускается. Если студент пропустил контрольную работу, он может выполнить соответствующее задание по согласованию с преподавателем либо во время аудиторных занятий по дисциплине, либо в консультационные часы преподавателя. Если причина пропуска контрольной работы уважительная и подтверждена документально (например, пропуск по болезни и имеется справка из поликлиники), оценка за соответствующие задания не снижается; если какой-то элемент контроля пропущен без уважительных причин, то оценка за каждый пункт задания умножается на понижающий коэффициент 0,7.
Домашнее задание №1
Переписывание отдельных заданий для повышения оценки не допускается.
Домашнее задание №2
Переписывание отдельных заданий для повышения оценки не допускается.
Экзамен
Экзамен проводится в форме теста. В тесте 50 вопросов. За каждый правильный ответ студент получает 0,2 балла.Экзамен проводится с асинхронным прокторингом ВШЭ в системе Examus. Информация о системе размещена на сайте ОП в разделе "Дистанционное обучение".
Активность студентов во время аудиторных занятий
Текущий контроль

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Текущий контроль + 0.6 * Экзамен

Программа дисциплины