• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Численно-аналитические методы моделирования

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)
Направление: 01.03.04. Прикладная математика
Когда читается: 4-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов по бакалаврской программе «Прикладная математика», изучающих дисциплину «Численно-аналитические методы моделирования». Курс включает основные сведения, необходимые для реализации полного цикла построения математических моделей, от математической постановки задачи до разработки программного обеспечения. Программа разработана в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования по направлению подготовки 01.03.04 Прикладная математика (уровень бакалавриат).
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Обеспечение усвоения студентами основных понятий и терминов вычислительной математики.
  • Формирование у студентов знаний и навыков, необходимых для понимания и решения задач численного анализа.
  • Обучение студентов грамотно классифицировать типы вычислительных процессов.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знать постановку основных начально-краевых задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики на отрезке (задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка; краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и задачи Коши для уравнения теплопроводности)
  • Знать основные конечно-разностные схемы, используемые для решения начальных и краевых задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики
  • Знать основные методы решения линейных алгебраических систем, соответствующих конечно-разностным аппроксимациям и схемам, (прямые и итерационные методы)
  • Знать основные понятия разностных методов (аппроксимация, устойчивость, сходимость)
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Векторно-матричные методы численного анализа на линейных пространствах
    Пространство полиномов, интерполяционные полиномы Лагранжа. Сплайны первого порядка, пространства дифференцированных функций с краевыми условиями. Линейные операторы. Пространство линейных операторов. Операторы обыкновенных дифференциальных уравнений n-ой степени с постоянными коэффициентами и однородными начальными условиями Коши. Операторный полином. Теорема Гамильтона-Кэли и вычисление обратной матрицы. Факторизация операторов. Разложение операторного полинома на множители. Метод Лобатто. Матричный метод Краута. Метод Холецкого. Прогонка.
  • Векторно-матричные методы численного анализа на нормированных пространствах
    Нормированные и евклидовы пространства. Аддитивная и мультипликативная норма. Нормы в векторном пространстве и пространстве матриц. Спектральная норма. Эквивалентность норм. Согласованная и подчинённая норма в пространстве ограниченных операторов. Евклидовы и энергетические нормы на абстрактных евклидовых пространствах и алгебрах. Энергетическая норма в конечномерном векторном пространстве. Неравенство Фридрихса. Сходимость по норме. Ряды в полных нормированных пространствах. Базисы Шаудера и ортогональные базисы. Матричные степенные ряды, сходящиеся по норме. Теорема Кэли Гамильтона и представление суммы сходящегося матричного степенного ряда интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра. Матричная экспонента. Метод представления экспоненциала матричным полиномом. Матричный ряд Неймана. Принцип сжимающих отображений. Решение систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Метод Лагранжа-Лиувилля.
  • Численные и аналитические методы решения эволюционных и стационарных задач в нормированных пространствах
    Ортогональный базис операторов Штурма-Лиувилля и матричного оператора. Проекционный метод Фурье. Решение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы дифференциальных уравнений первого порядка.
  • Специальные вычислительные методы решения эволюционных и стационарных задач с симметричными и положительно определёнными операторами
    Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к системе линейных уравнений первого порядка. Явные и неявные разностные схемы решения систем линейных дифференциальных уравнений. Схемы Эйлера, Кранка-Никольсон, Рунге-Кутта, Хойна. Сопоставление разрешающего оператора разностной схемы с матричным экспоненциалом. Принцип стационирования. Устойчивость по Ляпунову. Схема Ричардсона. Методы Якоби и Зейделя. Разностные схемы уравнения теплопроводности.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий самостоятельная работа №1
    Аналитические решения заданий самостоятельной работы обязательно должны содержать проверку. Текст самостоятельной работы должен быть набран в формате, совместимым с MS Word, с обязательной нумерацией страниц. В случае невыполнения правил оформления, работа оценивается по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.8. 2. Печатная форма самостоятельной работы подается для проверки и используется на защите работы. Электронная форма самостоятельной работы высылается на e mail, указанный преподавателем. Проверка печатной и электронной форм задания формирует предварительную оценку. При отсутствии электронной формы на e-mail преподавателя в период времени, указанный ниже, самостоятельная работа не засчитывается и оценивается нулём. 3. Электронная форма самостоятельной работы предоставляется не позднее 14 дней после выдачи задания. Выполненные в этот срок задания могут быть один раз доработаны с последующей коррекцией предварительной оценки. 4. К проверке также допускаются работы, электронные формы которых представлены позднее 14-го дня после выдачи задания и ранее 7 дней до окончания текущего модуля. 5. Работы, поданные на 15-30 день после выдачи задания, предварительно оцениваются по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.7 и не допускают доработку. В случае нарушения правил оформления 1 соответствующие понижающие коэффициенты перемножаются. 6. Работы, поданные позднее вышеуказанного периода, но ранее 7 дней до окончания текущего модуля, предварительно оцениваются по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.5 и не допускают доработку. В случае нарушения правил оформления 1 соответствующие понижающие коэффициенты перемножаются. 7. Работы, поданные менее чем за 7 дней до окончания текущего модуля, не принимаются к рассмотрению и оцениваются нулём. Нулевая оценка является окончательной и не подлежит коррекции. 8. Окончательная оценка самостоятельной работы опирается на её предварительную ненулевую оценку с учётом представленных исправлений и устанавливается после её защиты студентом на соответствующем семинаре (или экзамене). Окончательная оценка не подлежит коррекции.
  • неблокирующий самостоятельная работа №2
    Аналитические решения заданий самостоятельной работы обязательно должны содержать проверку. Текст самостоятельной работы должен быть набран в формате, совместимым с MS Word, с обязательной нумерацией страниц. В случае невыполнения правил оформления, работа оценивается по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.8. 2. Печатная форма самостоятельной работы подается для проверки и используется на защите работы. Электронная форма самостоятельной работы высылается на e mail, указанный преподавателем. Проверка печатной и электронной форм задания формирует предварительную оценку. При отсутствии электронной формы на e-mail преподавателя в период времени, указанный ниже, самостоятельная работа не засчитывается и оценивается нулём. 3. Электронная форма самостоятельной работы предоставляется не позднее 14 дней после выдачи задания. Выполненные в этот срок задания могут быть один раз доработаны с последующей коррекцией предварительной оценки. 4. К проверке также допускаются работы, электронные формы которых представлены позднее 14-го дня после выдачи задания и ранее 7 дней до окончания текущего модуля. 5. Работы, поданные на 15-30 день после выдачи задания, предварительно оцениваются по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.7 и не допускают доработку. В случае нарушения правил оформления 1 соответствующие понижающие коэффициенты перемножаются. 6. Работы, поданные позднее вышеуказанного периода, но ранее 7 дней до окончания текущего модуля, предварительно оцениваются по 10 бальной шкале с понижающим коэффициентом 0.5 и не допускают доработку. В случае нарушения правил оформления 1 соответствующие понижающие коэффициенты перемножаются. 7. Работы, поданные менее чем за 7 дней до окончания текущего модуля, не принимаются к рассмотрению и оцениваются нулём. Нулевая оценка является окончательной и не подлежит коррекции. 8. Окончательная оценка самостоятельной работы опирается на её предварительную ненулевую оценку с учётом представленных исправлений и устанавливается после её защиты студентом на соответствующем семинаре (или экзамене). Окончательная оценка не подлежит коррекции.
  • неблокирующий аудиторный опрос
  • неблокирующий экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.1 * аудиторный опрос + 0.1 * самостоятельная работа №1 + 0.1 * самостоятельная работа №2 + 0.7 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Вычислительные методы для инженеров : учеб. пособин для вузов, Амосов А. А., Дубинский Ю. А., 2003
  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Калиткин Н. Н., 2011

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Введение в вычислительную математику : учеб. пособие для вузов, Рябенький В. С., 2008
  • Методы вычислительной математики : учеб. пособие, Марчук Г. И., 2009
  • Основы численных методов : учебник для вузов, Вержбицкий В. М., 2002
  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., 2002