Бакалавриат
2019/2020
Функциональный анализ
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Прикладная математика)
Направление:
01.03.04. Прикладная математика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
3-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
56
Программа дисциплины
Аннотация
Настоящая дисциплина относится к циклу базовых дисциплин профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Математический анализ, Алгебра, Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Дифференциальные уравнения. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин, навыками решения типовых задач этих дисциплин. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы», «Теория управления», «Теория случайных процессов».
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление студентов с основами теории функций и функционального анализа
- Знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины
Планируемые результаты обучения
- Знание основных положений теории меры и интегрирования; теории метрических, нормированных и евклидовых пространств; теории линейных функционалов и линейных операторов, включая элементы спектрального анализа; теории преобразования Фурье
- Умение применять методы функционального анализа к решению теоретических и прикладных задач, в том числе, к решению теоретико-вероятностных задач, задач математической физики, задач оптимального управления, задач математического моделирования
- Приобретение навыков использования стандартных методов функционального анализа и их применения к решению теоретических и прикладных задач
Содержание учебной дисциплины
- Нормированные пространства. Банаховы пространстваОпределение линейного нормированного пространства. Естественное расстояние, порождаемое нормой. Банаховы пространства. Непрерывность нормы. Эквивалентные нормы. Изоморфизм и изометрия нормированных пространств. Пополнение. Теорема о почти перпендикуляре и ее следствие о некомпактности шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Ряды в нормированных пространствах. Базис.
- Линейные непрерывные функционалыОпределение линейного непрерывного функионала. Связь непрерывности и ограниченности. Норма функционала. Сопряженное пространство. Полнота сопряженного пространства. Примеры. Теоремы об общем виде функционала в C(I) и в гильбертовом пространстве. Поточечная сходимость и сходимость по норме последовательности функционалов. Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха–Штейнгауза). Критерий слабой сходимости.
Элементы контроля
- Коллоквиум
- Промежуточная аттестация
- Итоговая аттестация
- Контрольная работа 2
- Контрольная работа 1
- контрольно-измерительные материалыконтрольно-измерительные материалы
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)Вычисляется накопленная оценка по формуле 0,3* итог 2 курс + 0,2 * контрольная 1+ 0,2 * контрольная 2 + 0,3 * коллоквиум. О итоговая = 0,4 О накопленная + 0,6 О экзамен.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006
Рекомендуемая дополнительная литература
- Гуревич А. П., Корнев В. В., Хромов А. П. - Сборник задач по функциональному анализу - Издательство "Лань" - 2012 - 192с. - ISBN: 978-5-8114-1274-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/3175