Бакалавриат
2019/2020
Функциональный анализ
Статус:
Курс обязательный (Прикладная математика)
Направление:
01.03.04. Прикладная математика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
80
Программа дисциплины
Аннотация
Настоящая дисциплина относится к циклу базовых дисциплин профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: Математический анализ, Алгебра, Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Дифференциальные уравнения. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин, навыками решения типовых задач этих дисциплин. Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: «Уравнения математической физики», «Методы оптимизации», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Численные методы», «Теория управления», «Теория случайных процессов».
Цель освоения дисциплины
- Ознакомление студентов с основами теории функций и функционального анализ
- Знакомство с некоторыми прикладными задачами дисциплины
Планируемые результаты обучения
- Умение применять методы дисциплины для решения задач, возникающих в дисциплинах, использующих соответствующие методы.
- Опыт применения современного инструментария дисциплины.
Содержание учебной дисциплины
- Сравнение множествЭквивалентность множеств по Кантору. Счётные множества и операции над ними. Несчётные множества. Континуальные множества. Понятие мощности. Теорема Кантора–Бернштейна.
- Мера и интегралМера Лебега в R^n. Множества меры нуль. Канторово множество. Пример неизмеримого множества. Операции над измеримыми множествами. Измеримые функции и арифметические операции. Поточечный предельный переход. Терминология «почти всюду». Теоремы Егорова и Лузина об исправлении. Интеграл Лебега. Теоремы о предельном переходе в интегралах (теоремы Лебега, Леви и Фату). Теорема Фубини. Абстрактное пространство с мерой, процедура продолжения меры, интеграл. Мера Стилтьеса, интеграл Стилтьеса.
- Метрические пространстваОпределение метрического пространства. Примеры метрических пространствl^2, l^1, 〖l∞〗_ , C([a,b]), BC([a,b]), C_2 ([a,b]), L^1 (X), L^2 (X), L^∞ (X). Шар, окрестность. Предел последовательности точек. Открытые и замкнутые множества. Замыкание. Операции над открытыми и замкнутыми множествами. Всюду плотные множества. Нигде не плотные множества. Сепарабельные метрические пространства. Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра о категориях. Непрерывные отображения метрических пространств, изометрия. Пополнение. Сжимающие отображения. Теорема о неподвижной точке, ее приложения.
- КомпактностьВполне ограниченные множества в метрических пространствах. Связь вполне ограниченности и ограниченности. Определение ε -сети. Определение компактного множества. Непрерывные функции на компактных множествах. Критерии компактности в некоторых пространствах (C(I), l^1, l^2 ).
Элементы контроля
- Домашняя работа
- Коллоквиум
- Промежуточная аттестацияоценка за экзамен в 4-м модуле 2-го курса =накопленной
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Элементы теории функций и функционального анализа, Колмогоров, А. Н., 2006
Рекомендуемая дополнительная литература
- Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А. - Задачи по функциональному анализу - Московский центр непрерывного математического образования - 2017 - 336с. - ISBN: 978-5-4439-3092-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/92693