Алгебра и анализ: вводный курс (level 1, level 2)

Бакалавриат 2019/2020

Статус: Курс обязательный (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента

Когда читается: 1-й курс, 1 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Рунев Евгений Валентинович, Смирнова Надежда Владимировна

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 24

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Алгебра и анализ: вводный курс» является изучение разделов «Элементарные функции», «Векторы на плоскости и в пространстве», «Прямая линия на плоскости», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Курс " Алгебра и анализ: вводный курс" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Алгебра и анализ: вводный курс» является изучение разделов «Элементарные функции», «Векторы на плоскости и в пространстве», «Прямая линия на плоскости», «Комплексные числа» и «Полиномы и рациональные дроби», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Линейная алгебра», «Математический анализ–I», «Математический анализ–II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Курс " Алгебра и анализ: вводный курс" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла.

Планируемые результаты обучения

Умеет находить область определения, множество значений функции, исследовать функцию на монотонность, чётность/нечетность, периодичность.
Знает основные элементарные функции, умеет строить графики элементарных функций с помощью основных преобразований на плоскости.
Знает свойства модуля, решает уравнения и неравенства с применением свойств модуля.
Умеет применять основные операции над векторами к решению практических и геометрических задач (в том числе используя теорему о делении отрезка в заданном отношении).
Демонстрирует знание концепции уравнения прямой линии на плоскости, умение составить уравнение прямой, построить график прямой линии, применять условия взаимного расположения прямых на плоскости в решении геометрических и экономических задач
Умеет работать с комплексными числами в произвольной форме записи (алгебраическая, тригонометрическая, показательная), решает уравнения и неравенства с комплексными числами и интерпретирует результаты геометрически.
Умеет применять теоремы Безу, Декарта к конкретным многочленам, раскладывать многочлены на множители с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.
Демонстрирует умение представлять правильную рациональную дробь в сумму простейших дробей.

Содержание учебной дисциплины

Множества и отображения
Множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Задание множеств. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Множество вещественных чисел. Расширенная числовая ось. Аксиоматика вещественных чисел. Подмножества множества вещественных чисел. Графическое изображение множеств на плоскости. Отображение. Область определения и область значений. Числовая функция: график числовой функции, монотонность, периодичность, чётные и нечётные функции. Арифметические операции над числовыми функциями. Наибольшее и наименьшее значение монотонной функции. Элементарные функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Преобразования графиков элементарных функций на плоскости (сдвиги по осям, масштабные преобразования, отражения). Обратное отображение, его свойство. Композиция отображений. Свойства композиции. Инъективное, сюръективное и биективное отображения. Примеры числовых функций, задающих сюръективное, инъективное и биективное отображения.
Векторы в R^n
Геометрические векторы – повторение: определение, правила сложения треугольника и параллелограмма, правило многоугольника. Арифметические векторы. Линейные операции. Координаты вектора. Линейная зависимость и линейная независимость векторов в R^n . Скалярное произведение векторов в R^n и его свойства. Угол между векторами. Проекция вектора на ось и на направление. Свойства проекций. Условие коллинеарности и ортогональности векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Векторное произведение: свойства, вычисление, геометрический смысл. Смешанное произведение: свойства, вычисление, геометрический смысл. Двойное векторное произведение: свойства. Приложение: вычисление площади параллелограмма и объёма параллелепипеда
Прямая линия на плоскости и в пространстве. Плоскость в пространстве
Уравнение линии на плоскости и в пространстве: прямая. Уравнение поверхности в пространстве: плоскость. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору, уравнение по точке и направляющему вектору, каноническое, общее, параметрическое уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, уравнение по двум точкам. Взаимное расположение двух прямых на плоскости: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Уравнение плоскости в пространстве: по точке и нормальному вектору, по трём точкам. Уравнение прямой в пространстве: каноническое уравнение, параметрическое уравнение. Взаимное расположение плоскостей. Прямая, как пересечение плоскостей. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: угол между прямыми, условие ортогональности и параллельности. Взаимное расположение прямой и плоскости: угол между прямой и плоскостью, условие ортогональности и параллельности. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямыми. Расстояние между плоскостями. Применение к решению геометрических задач.
Комплексные числа
Определение, арифметические операции и их свойства. Модуль, комплексное сопряжение. Алгебраическая форма записи. Геометрическая интерпретация. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа. Формулы Эйлера. Возведение в натуральную степень. Формулы Муавра. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Уравнения и неравенства с комплексными числами и их геометрическая интерпретация.
Полиномы и рациональные дроби
Степень полинома. Операции над полиномами – сложение, умножение. Бином Ньютона. Корень полинома. Делимость полиномов. Неприводимый полином. Теорема Безу. Теорема Декарта. Теорема Виета. Разложение полиномов на множители. Основная теорема высшей алгебры (теорема Гаусса). Теорема о полиноме с целыми коэффициентами. Деление полиномов с остатком. Схема Горнера. Теорема о каноническом разложении полинома. Кратные корни полинома. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Случай простых вещественных корней знаменателя дроби.

Элементы контроля

Индивидуальное домашнее задание 1
Индивидуальное домашнее задание 2
Индивидуальное домашнее задание 3
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (1 модуль)
0.1 * Индивидуальное домашнее задание 1 + 0.1 * Индивидуальное домашнее задание 2 + 0.1 * Индивидуальное домашнее задание 3 + 0.7 * Экзамен

Программа дисциплины