• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Математический анализ

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Бизнес-информатика)
Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 10

Программа дисциплины

Аннотация

Курс математического анализа включает в себя теорию вещественных чисел, теорию пределов, теорию непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной и их приложения, дифференциальное исчисление функций многих переменных и теорию числовых и функциональных рядов.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей экономических явлений и решению бизнес-задач.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Студент должен продемонстрировать высокий уровень знаний основных определений, теорем, методов, доказательств некоторых теоретических положений курса. При решении практических задач студент должен показать умение анализировать и применять теоретические факты к решению данной задачи, продемонстрировать навыки решения данного класса задач.
  • Студент должен продемонстрировать высокий уровень знаний основных определений, теорем, методов, доказательств некоторых теоретических положений курса. При решении практических задач студент должен показать умение анализировать и применять теоретические факты к решению данной задачи, продемонстрировать навыки решения данного класса задач. Применяет методы математического анализа в смежных теоретических и прикладных областях.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • 1. Введение в анализ. Элементы теории множеств и функций
    Понятие множества. Операции над множествами. Понятие отображения (функции), области определения и множества значений. Обратная функция. Композиция функций (сложная функция). График функции. Элементарные функции: классификация, простейшие свойства, графики.
  • 2. Предел последовательности.
    Определение числовые последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Достаточное условие отсутствие предела последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Лемма о конвоирующих. Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенные выражения, методы раскрытия неопределенностей.
  • 3. Предел функции.
    Определение предела функции в точке по Коши (в терминах окрестностей и неравенств) и по Гейне (в терминах последовательностей). Теорема об эквивалентности этих определений. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имею-щих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Односторонние пределы. Достаточное условие отсутствие предела в точке. Неопределенные выражения. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций, о-символика. Эквивалентность бесконечно малых.
  • 4. Непрерывные функции.
    Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о локальной ограниченности функции, непрерывной в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, первая и вторая теоремы Больцано-Коши). Теорема о непрерывности монотонной функции на промежутке. Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке. Точки разрыва, их классификация.
  • 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
    Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке. Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференци-руемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически. Производная неявно заданной функции. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное ус-ловие дифференцируемости. Понятие первого дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке. Экстремумы функции одной переменной. Локальный и глобальный экстремум. Необходимое и достаточное условия для внутреннего локального экстремума. Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя-Бернулли. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций од-ной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных элементарных функций.
  • 6. Интегральное исчисление функций одной переменной.
    Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции, определенной на промежутке. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов элементарных функций. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических выражений (сведение в интегрированию рациональных функций). Интегрирование иррациональных выражений. Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Основные свойства определенного интеграла: интеграл единицы, линейность, интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, интегрируемость на подотрезках, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции. Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг плоских кривых. Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для несобственных интегралов от положительных функций. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.
  • 7. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
    Понятие n-мерного евклидова пространства.Неравенство треугольника. Сферические и прямоугольные окрестности точки. Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые, компактные множества. Понятие функции многих переменных. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных. Теоремы Вейерштрасса. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия диф-ференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Уравнение касательной плоскости и нормали к графику функции двух переменных в точке. Понятие первого дифференциала функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума в терминах второго дифференциала.
  • 8. Числовые и функциональные ряды.
    Понятие числового ряда, сходящегося ряда, суммы ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости ряда. Знако-положительные числовые ряды. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные последовательности и ряды. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Теорема о единственности представления. Ряд Тейлора функции. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Ряды Тейлора-Маклорена основных элементарных функций.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
    В случае отсутствия на контрольной работе по уважительной причине (наличие подтверждающего документа в деканате) предоставляется возможность написания работы в дополнительное время.
  • неблокирующий Домашнее задание
  • неблокирующий Промежуточный экзамен
  • неблокирующий Итоговый экзамен
    Экзамен проводится в письменной форме с использованием асинхронного прокторинга. Экзамен проводится на платформе Zoom (https://zoom.us), прокторинг на платформе Экзамус (https://hse.student.examus.net). К экзамену необходимо подключиться за 15 минут. На платформе Экзамус доступно тестирование системы. Компьютер студента должен удовлетворять следующим требованиям: https://elearning.hse.ru/data/2020/05/07/1544135594/Технические%20требования%20к%20ПК%20студента.pdf) Для участия в экзамене студент обязан: заранее зайти на платформу прокторинга, провести тест системы, включить камеру и микрофон, подтвердить личность. Во время экзамена студентам запрещено: общаться (в социальных сетях, с людьми в комнате), списывать. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи до 10 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается прерывание связи 10 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    Результирующая оценка за промежуточный контроль в форме экзамена в конце 2 модуля выставляется по следующей формуле: Опромежуточный = 0,6·Оэкзмен +0,4·Онакопл1 , где Оэкзамен – оценка за письменную экзаменационную работу. Накопленная оценка за текущий контроль в 1и 2 модулях учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом: Онакопл1 = ( Окр1+ Оауд )/2, где Окр1 - оценка за контрольную работу , Оауд - оценка за работу на семинарских занятиях.
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Накопленная оценка за текущий контроль в 3 и 4 модулях учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом: Онакопл2 = ( Окр2+ Одз+Оауд )/3 , где Окр2 - оценка за контрольную работу 2, ОДЗ - оценка за письменную домашнюю работу , Оауд - оценка за работу на семинарских занятиях. Результирующая оценка за дисциплину рассчитывается следующим образом: ОРезульт Итог = 0,4·ОНакопл2 + 0,6·ОИтог экзамен, где ОИтог экзамен – оценка за итоговую экзаменационную письменную работу.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Краткий курс математического анализа, учебник : в 2 т., Т. 1, 4-е изд., перераб., 443 с., Кудрявцев, Л. Д., 2015
  • Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник / Кудрявцев Л.Д., - 4-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 444 с.: ISBN 978-5-9221-1585-8
  • Кудрявцев Л. Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 1 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 703с. - ISBN: 978-5-9916-3701-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-1-425369
  • Максимова О. Д. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2-е изд. Учебное пособие для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 200с. - ISBN: 978-5-534-07222-8 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-primerah-i-zadachah-predel-funkcii-442137
  • Математический анализ, учебник, Ч. 1, 7-е изд., новое доп., XII, 564 с., Зорич, В. А., 2015
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 206с. - ISBN: 978-5-534-06584-8 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-funkcii-mnogih-peremennyh-438941
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н., Хорошилова Е. В. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для СПО - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 156с. - ISBN: 978-5-534-06596-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-differencirovanie-funkciy-odnoy-peremennoy-441179

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н. ; Под общ. ред. Ильина В.А. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 115с. - ISBN: 978-5-534-08473-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-predel-i-nepreryvnost-funkcii-odnoy-peremennoy-441132
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н., Хорошилова Е. В. ; Под общ. ред. Ильина В.А. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 109с. - ISBN: 978-5-534-08461-0 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-veschestvennye-chisla-i-posledovatelnosti-441133
  • Садовничая И. В., Хорошилова Е. В. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для СПО - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 199с. - ISBN: 978-5-534-06836-8 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-opredelennyy-integral-v-2-ch-chast-2-441163
  • Хорошилова Е. В. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 187с. - ISBN: 978-5-534-05715-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-neopredelennyy-integral-441127