2019/2020
Введение в теорию чисел
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
Теория чисел состоит из множества разнообразных вопросов и методов их исследования Предварительная подготовка: Для понимания курса требуется знание предметов первого курса бакалавриата: стандартные курсы алгебры, анализа, геометрии, комбинаторики и топологии). Для студентов образовательных программ, реализуемых факультетом математики
Цель освоения дисциплины
- Курс содержит две части. Первая часть посвящена подробному изучению элементарной теории чисел с использованием инструментов высшей математики. Вторая часть даст слушателям представление о возможных направлениях углубления и основных результатах в рамках этих направлений
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с элементарной теорией чисел с использованием инструментов высшей математики
- Получение представления о возможных направлениях углубления и основных результатах в рамках направлений первой части курса
Содержание учебной дисциплины
- Делимость и простые числаЕвклидовы кольца ℤ и ℤ [i]. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД. Основная теорема арифметики. p-показатели. Лемма об уточнении степени. Постулат Бертрана.
- Кольца вычетов по модулюОбратимые вычеты. Теорема Вильсона. Функция Эйлера и её свойства. Теорема Эйлера. Китайская теорема об остатках. Теорема Шевалле. Примитивные вычеты. Квадратичные вычеты (критерий Эйлера, квадратичный закон взаимности Гаусса).
- Цепные (непрерывные) дробиСвойства цепных дробей. Приближение иррациональных чисел рациональными. Цепные дроби квадратичных иррациональностей.
- Задачи на решёткахФормула Пика. Теорема Блихфельда. Лемма Минковского. Теорема Кронекера. Равномерно распределённые последовательности. Теорема Ван-дер-Вардена.
- Многочлены над ℤНеприводимые многочлены. Лемма Гаусса. Признак Эйзенштейна. Признак Дюма.
- Диофантовы уравненияЛинейные диофантовы уравнения. Методы решения нелинейных диофантовых уравнений: метод остатков, метод разложений, метод оценок, метод спуска. Пифагоровы тройки. Уравнения Пелля. Суммы двух квадратов. Суммы четырёх квадратов.
- Основы алгебраической теории чиселКонечные расширения ℚ. Лемма о простом расширении. Кольцо целых. Поле алгебраических чисел . Алгебраическая замкнутость A. Теорема Лиувилля. Теорема Линдемана (б/д). Трансцендентность π и e.
- Основы аналитической теории чиселГамма-функция Эйлера. Дзета-функция Римана. Ряды Дирихле, теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (б/д). Теорема Чебышёва о распределении простых чисел.
- Основы комбинаторной теории чиселТеорема Коши–Дэвенпорта. Теорема Плюннеке–Ружа. Теорема Семереди (б/д). Теорема Грина–Тао (б/д).
- p-адические числаНеархимедовы нормы в ℚ и пополнения ℚ по ним. Кольцо ℤp и его свойства. Лемма Гензеля
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)Знания студентов оцениваются по десятибальной шкале. Оаудиторная=0,3*(Окр1 +Окр2))+0,4* (среднее за три лучшие оценки по Теоретическим контрольным) Накопленная оценка по дисциплине рассчитывается по формуле: Онакопленная = 0,5*Оаудиторная + 0,5*Околлоквиум В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине: Орезуьтат = 0,6*Онакопленная + 0,4*Оэкзамен