• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Научно-исследовательский семинар "Группа кос, R-матрицы и квантовые группы"

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 6
Контактные часы: 72

Программа дисциплины

Аннотация

В этом курсе мы обсуждаем несколько тем из теории группы кос и теории квантовых групп, в которых появляется и применяется один из самых известных объектов современной математической физики ——- так называемая R-матрица. R-матрица (в узком понимании этого термина) ——- это решение кубического матричного уравнения Янга-Бакстера, известного также как соотношение Артина или уравнение кос. Сферы применения R-матриц в настоящее время очень разнообразны: от теории точно решаемых моделей статистической физики и теории поля до проблем построения инвариантов узлов, структурной теории и теории представлений квантовых матричных алгебр. В курсе мы знакомим слушателей с алгебраическими корнями происхождения R-матрицы и ее ролью в теории инвариантов узлов и теории квантовых групп. Очень важные для современной теоретической физики приложения R-матриц в теории интегрируемых моделей обсуждаются в спецкурсе “Анзац Бете” магистерской программы "Математика и математическая физика".
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение основ теории группы кос и конечномерных факторов ее групповой алгебры --- алгебры Ивахори-Гекке серии А и групповой алгебры симметрической группы. Освоение структурной теории квантовых матричных алгебр и основ теории их представлений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Освоение артинова (алгебраического) подхода к описанию групп кос в терминах генераторов и соотношений. Изучение различных наборов генераторов группы кос, описание центра группы кос, ознакомление с коммутативным набором элементов Юциса-Мэрфи.
  • Освоение критерия полупростоты алгебр Ивахори-Гекке и классификации их неприводимых представлений. Выработка навыков практической работы с неприводимыми представлениями алгебры Гекке в базисе, диагонализующем операторы Юциса-Мэрфи: построение тождеств в подалгебре элементов Юциса-Мэрфи; построение полного набора примитивных идемпотентов; вывод явных формул для матриц артиновых генераторов.
  • Знакомство с различными R-матричными представлениями алгебр Ивахори-Гекке и группы кос. Изучение серий R-матриц Дринфельда-Джимбо и Кулиша-Склянина, а также их мультипараметрических обобщений.
  • Знакомство со свойствами (строго) косо-обратимых R-матриц, и с операцией R-матричного следа. Освоение R-матричной техники и метода вычисления инвариантов зацеплений с использованием R-матричных представлений алгебр Ивахори-Гекке.
  • Освоение аксиоматики алгебр Хопфа, уяснение смысла ко-операций для теории представлений.
  • Изучение основных свойств пуассоновой алгебры функций, гамильтоновых векторных полей и порождаемых ими потоков. Умение ограничить вырожденные скобки Пуассона на листы слоения, построение симплектической структуры по невырожденной скобке и наоборот. Выяснение роли пуассновых структур на многообразии в задаче деформационного квантования алгебры функций на нем.
  • Освоение свойств скобки Склянина на алгебре функций на группе и ее выражение через классическую r-матрицу. Построение квантовой версии для случая sl(2), умение проверить плоскость квантования.
  • Изучение и практические навыки работы со скобками Пуассона-Ли и квадратичной скобкой Семенова-Тянь-Шанского. Умение доказывать совместность этих скобок на дуальном пространстве к алгебре Ли gl(n), квантование порожденного ими пучка скобок Пуассона --- алгебра уравнения отражений.
  • Освоение методов построения центра алгебры уравнения отражений. Изучение свойств симметрических функций, билинейных соотношений, матричного тождества Гамильтона-Кэли для квантовой матрицы. Спектральное расширение центра алгебры уравнения отражений.
  • Построение представления в базовом пространстве. Изучение структуры твистованной биалгебры в алгебре уравнения отражений. Освоение категории конечномерных представлений (категорные твисты, произведение представлений, разложение на неприводимые).
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Группа кос, ее геометрическое и алгебраическое представления.
    Доказательство эквивалентности артинова алгебраического описания группы кос и группы крашеных кос и их геометрического определения как фундаментальных групп конфигурационных пространств.
  • Классификация неприводимых представлений алгебр Ивахори–Гекке.
    Подход к теории представлений в духе Окунькова-Вершика. Конструкция элементов Юциса-Мерфи, максимальной коммутативной подалгебры, примитивных идемпотентов. Спектр элементов Юциса-Мерфи в левом регулярном представлении.
  • R-матричные представления группы кос.
    R-матричные представления в тензорной алгебре фундаментального пространства. Примеры R-матриц GL(m,n) и O(n) типов.
  • Марковский след на алгебре Ивахори–Гекке.
    Косообратимые R-матрицы, конструкция R-следа. R-матричная техника. Приложения к теории инвариантов зацеплений и к теории квантовых спиновых цепочек.
  • Понятие об алгебрах Хопфа.
    Основные структуры алгебры Хопфа. Коумножение, коединица и антипод с точки зрения теории представлений. Двойственные алгебры Хопфа.
  • Квантование пуассоновой алгебры.
    Пуассонова структура на ассоциативной алгбере. Основные свойства скобок Пуассона. Примеры: алгебры функций на группе и матричной алгебре. Деформационное квантование,
  • Алгебра функций на группе и ее квантование.
    Скобка Склянина как пример R-матричной скобки Пуассона. Квантованная алгебра функций на группе: R-матричный подход (так называемая RTT-алгебра).
  • Алгебра функций на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n).
    Примеры скобок Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n). Квантование пучка скобок Пуассона, алгебра уравнения отражений с R-матрицей GL(n) типа.
  • Структура алгебры уравнения отражений.
    Алгебра уравнения отражений GL(n) типа как пример квантовой матричной алгебры. Структура алгебры уравнения отражений: характеристическая подалгебра, квантовая версия теоремы Гамильтона–Кэли, спектр квантовой матрицы.
  • Теория конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений GL(n) типа.
    Построение конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений с помощью косообратимой R-матрицы. Характеры центральных элементов.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий В течение семестра студентам предлагаются к самостоятельному разбору четыре листка с задачами.
  • неблокирующий Ответ на билет с 2 теоретическими вопросами и одной задачей
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.5 * В течение семестра студентам предлагаются к самостоятельному разбору четыре листка с задачами. + 0.5 * Ответ на билет с 2 теоретическими вопросами и одной задачей
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Основные структуры и методы теории представлений, Желобенко, Д. П., 2004

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, Фултон, У., Горбульского, М. Д., 2006