Математические модели

2019/2020

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Общеуниверситетский факультатив

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 1-4 модуль

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 96

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Предполагается рассмотреть широкий круг математических моделей, возникающих в физике, химии, экономике, демографии, биологии и т.д., а также на их стыках. Предполагается обсуждать построение моделей, их математический анализ, методы численной реализации, методы проверки модели, подгонки ее параметров и т.п. Предполагается отличное владение курсами линейной алгебры и математического анализа. Предполагается, что слушатели уже знакомы с комплексными числами, основной теоремой алгебры, Виета, Безу, с основами теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей. Предполагается, что в ходе курса слушатели это знакомство существенно расширят. Желательно уметь программировать, например, на МАТЛАБе, МАТЕМАТИКЕ, ПИТОНе и т.п., поскольку работа с моделями часто связана с построением графиков, фазовых портретов, гистограмм и т.п. Будут обсуждаться методы интерполяции и аппроксимации, разностные методы приближенного решения дифференциальных уравнений, на решении которых часто основываются модели. Умение строить максимально информативные графики и умение их анализировать, - важная часть специальности. Наилучший вариант работы в факультативном курсе – начать индивидуальное обсуждение и работу по какой-то математической модели, конкретно интересующей слушателя. Для продвинутых слушателей также возможно участие в работе научного семинара «Дифференциальные уравнения и численные методы». Студенты математических и естественно-научных специальностей смогут расширить свой кругозор, как в применении уже известных им методов к ранее неизвестным им задачам, так и в изучении методов решения конкретных прикладных задач. Полученные компетенции могут быть использованы в курсах дифференциальных уравнений, уравнений математической физики, уравнений в частных производных, основы функционального анализа, вычислительные методы. Для студентов прочих специальностей задача обучения будет сложнее, поскольку им будут менее привычны подходы и методы точных наук. С другой стороны, если им не учиться, то и не научишься. Полученные компетенции могут быть использованы в специализированных курсах, а главное – в практической работе по специальности.

Цель освоения дисциплины

В качестве цели(ей) освоения дисциплины кратко указываются охват предметной области, глубина ее изучения и ценность учебной дисциплины для студента, в рамках которой реализуется учебная дисциплина.

Планируемые результаты обучения

Студенты должны научиться самостоятельно разрабатывать математические модели различных явлений, анализировать их аналитически и численно, определять их надежность, сопоставлять с данными наблюдений, а также использовать уже разработанные модели и также оценивать их надежность.

Содержание учебной дисциплины

Простейшие модели
Модель Мальтуса и модель Фибоначчи роста популяции – непрерывное и дискретное время. Модель радиоактивного распада. Формула Эйлера для уменьшения натяжения троса, перекинутого через бревно, за счет трения. Задача о вытекании жидкости из сосуда через отверстие. Линейные дифференциальные и разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Модель фон Берталанфи роста коралла. Модель Гомперца – рост организма с учетом возраста. Системы дифференциальных уравнений – задача химической кинетики. Первый интеграл системы дифференциальных уравнений. Задачи о победе в войне двух армий и двух орд. Метод разделения переменных. Модель Лесли – динамика популяции с разбивкой по возрастам. Логистическая модель Ферхюльста с непрерывным временем – размножение при ограниченности ресурсов. Выход численности популяции на стационарное значение. Особенности модели с дискретным временем. Связь уравнений и систем между собой.
Стационарные точки и периодические режимы
Модель динамики численности популяции рыбы с учетом квот на вылов. Мягкий и жесткий варианты квот на отлов. Модель Лотки – Вольтерры взаимодействия популяций хищников и жертв. Линейные и нелинейные колебания маятника. Учет трения. Определение устойчивости и асимптотической устойчивости стационарной точки системы дифференциальных уравнений. Критерии устойчивости Ляпунова. Разбегание траекторий на больших временах. Работа двигателя и предельные циклы. Устойчивые и неустойчивые циклы. Понятия бифуркации (катастрофы) и общего положения. Модели, где несколько стационарных точек. Пружинный маятник с трением о стол и гистерезис. Аттракторы и бассейны притяжения.
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные и разностные уравнения и системы
Линейные операторы и дифференциальные уравнения. Разрешающий оператор как экспонента оператора задачи. Вычисление экспоненты и других функций от матрицы. Задача Коши и условия ее корректности. Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных. Специальные правые части для уравнений с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения в частных производных
Уравнения переноса, струны, мембраны, диффузии и теплопроводности, телеграфное. Уравнения Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Уравнение Шрёдингера. Уравнения Максвелла. Постановка граничных условий. Собственные числа и функции. Свойства краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке и задача Штурма – Лиувилля. Асимптотика собственных чисел с большими номерами. Колебания струны при произвольных начальных условиях, диффузионное перераспределение примеси, нагрев круглого диска и другие примеры применения метода Фурье. Конкурс, объявленный Наполеоном и колебания пластинки.
Уравнения во всем пространстве и преобразование Фурье.
Унитарность: теорема Планшереля и формула Парсеваля. Умножение и свертка. Символы дифференциальных и разностных операторов. Фундаментальное решение. Псевдодифференциальные операторы. Классификация линейных уравнений в частных производных.
Понятие корректности задачи.
Корректность по Адамару. Примеры корректных и некорректных задач.
Задача детерминированной интерполяции
Кусочно-линейная интерполяция дискретно заданной информации. Полиномиальная интерполяция. Формула Лагранжа. Преимущества и недостатки полиномиальной интерполяции высокого порядка. Устойчивость интерполяции к погрешностям в исходных данных. Константа Лебега. Сплайн-интерполяция. Метод прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия хорошей обусловленности матриц. Компактная интерполяция и ее преимущества.
Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов и дифференциальных соотношений
Центральные разности разных порядков на равномерных сетках. Неравномерные сетки. Символы разности для асимптотической оценки погрешности. Компактная аппроксимация дифференциальных соотношений – выигрыш в порядке точности.
Блуждания на сетке
Задачи об играх с постоянной суммой и конечно-разностные уравнения. Вероятность выигрыша каждой из сторон. Математическое ожидание времени окончания игры. Марковские цепи. Размазывание вероятности правильного ответа в задаче о часах с шумом. Связь блужданий на сетке и численным решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Задача интерполяции случайных полей и процессов.
Случайные процессы и поля. Стационарные случайные процессы и однородные и изотропные случайные поля. Корреляционные функции и распределение энергии по спектру. Интерполяция и дифференцирование случайных полей по формулам, которые наилучшим образом учитывают статистические свойства полей. Выделение по дискретным и зашумленным данным линий и поверхностей, где поле испытывает скачок.
Вариационные методы усвоения информации и вариационное исчисление
Метод наименьших квадратов. Прямолинейная дорога, наименее уклоняющаяся (в разных смыслах) от заданных на карте населенных пунктов. Задача Штейнера. Вариационное согласование информации о функции и ее производной (данные от GPS и спидометра). Задача о наибыстрейшем пути и рефракция в неоднородной атмосфере. Классические задачи вариационного исчисления: брахистохрона, цепная линия, ремешок Дидоны. Кубические сплайны, как решение вариационной задачи. Пространства функций – примеры. Топология, метрика, норма, скалярное произведение. Линейные и нелинейные функционалы. Обобщенные функции. 1-гладкие функционалы и 1-я вариация. Стационарные точки функционала. Необходимое условие экстремума 1-гладкого функционала. Уравнение Эйлера. Примеры. Методы интегрирования. Принцип наименьшего действия. Лагранжиан и гамильтониан. Конечномерные и бесконечномерные модели. Условия трансверсальности. Билинейные и квадратичные функционалы. Симметричные и кососимметричные билинейные функционалы. Примеры. 2-гладкость функционала и 2-я вариация. Достаточное условие экстремума 2-гладкого функционала..
Нелинейные уравнения в частных производных и их автомодельные решения
Задача о распространении гена Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова. Уравнение Кортевега – де Фриса, Уравнение Бюргерса и его линеаризация нелинейной заменой. Нелинейное уравнение Шрёдингера.
Уравнения газо- и гидро- динамики
Градиент, ротор и дивергенция. Уравнения, следующие из второго закона Ньютона. Закон сохранения энергии. Первые интегралы системы степени нуль. Первые интегралы Эртеля. Уравнение несжимаемости. Первая и вторая вязкость. Граничные условия непротекания и прилипания и обсуждение их адекватности. Стационарные решения идеальной гидродинамики – слоение на торы и АВС-течения.
Условие гидростатики и закон Архимеда
Уравнения прогноза погоды. Свойства атмосферы: атмосферные фронты, струйные течения, циклоны и антициклоны. Синоптические станции, автоматические станции, запуски зондов, данные с самолетов, спутников и кораблей. Плавучие буи. Взаимодействие атмосферы с океаном и с сушей. Подготовка начальных данных для решения прогностической системы. Непрерывное усвоение измеренной информации. Точность современных прогностических моделей – как погрешность растет с заблаговременностью прогноза. Модели постпроцессинга.
Комплексные модели
Применение моделей прогноза погоды для медицинских целей. Применение моделей прогноза погоды для энергетики.

Элементы контроля

Д.З.
К.Р.
Экзамен
Экзамен проводится в письменной форме в системе Zoom. Компьютеры студентов должны позволять работать в ней. Необходимо наличие микрофона и камеры, в поле зрения которой все время проведения экзамена должны помещаться как руки, так и голова студента. Во время экзамена студентам запрещено выключать камеру. Разрешается только выполнять решение задач ручкой с яркой пастой черного или синего цвета на нелинованных листах формата А4. Работа на каких-либо электронных устройствах, пользование любой литературой или посторонней помощью запрещается. На каждой странице решений задач в правом верхнем углу должны быть указаны фамилия, имя и группа студента. Страницы должны быть пронумерованы. Весь сеанс проведения экзамена будет записываться. Если во время экзамена или при последующем просмотре записи будут обнаружены нарушения студентом условий проведения экзамена, то ему может быть выставлена неудовлетворительная оценка в независимости от количества решенных задач. При любых перерывах в связи со стороны конкретного студента экзамен может быть прекращен и ему выставлена неудовлетворительная оценка. Пересдачи экзамена пройдут уже в новом учебном году. Их формат может отличаться от проведения экзамена (в том числе, обычный аудиторный формат вместо он-лайн), что будет определяться приказами по НИУ ВШЭ. Ссылка в системе Zoom высылается на корпоративные адреса студентов не позднее, чем за 30 минут до начала экзамена. В зависимости от численности сдающих студенты могут быть разбиты на несколько потоков с разным временем начала экзамена. Студенты одного потока также разбиваются на несколько групп, каждая из которых имеет свой адрес в Zoom. За 15 минут до начала экзамена студенты должны войти в систему Zoom, включить камеру и микрофон и пройти процедуру своей идентификации. Студенты должны входить в систему и работать под своими реальными фамилией и именем на русском языке, в противном случае они не могут быть допущены к экзамену или будут удалены с него. При решении задач могут использоваться только те методы, которые разбирались и применялись на лекциях или семинарах. Итоговая оценка выставляется по формуле, приведенной в Программе дисциплины.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.3 * Д.З. + 0.25 * К.Р. + 0.45 * Экзамен

Программа дисциплины