Нечетко-вероятностный анализ в финансах, эконометрике и оптимизации

Магистратура 2019/2020

Статус: Курс по выбору (Прикладная экономика)

Направление: 38.04.01. Экономика

Кто читает: Департамент прикладной экономики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Прогр. обучения: Прикладная экономика

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины «Нечетко-вероятностный анализ в финансах, эконометрике и оптимизации» для студентов по направлению 38.04.01 «Экономика» подготовки магистра устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Нечеткое моделирование (fuzzy modeling) стало важной частью прикладных исследований во многих областях, в том числе, в финансах и в экономике. Практическое значение этого подхода неуклонно увеличивается. В мире существует несколько журналов по нечеткой математике и ее применениям, выпущено значительное количество книг. Специалисты, владеющие этим математическим аппаратом, становятся высоко востребованными. Развитие многих широко применяемых моделей пошло именно по пути включения нечеткости. Практическое значение вероятностного моделирования (probabilistic modeling) остается бóльшим, однако дистанция сокращается. Идея вероятностного моделирования состоит в том, что неизвестные величины могут принимать различные значения, и каждому значению или группе значений приписывается некоторая вероятность. Идея нечеткого моделирования заключается в том, что сами значения могут быть расплывчатыми, нечеткими, и допускаются различные формы этой расплывчатости. Вероятностное и нечеткое моделирование на сегодняшний день являются основными подходами к передаче неопределенности в математических моделях, используемых при решении прикладных задач. Наиболее интересные и важные из этих моделей – это те, в которых комбинируются методы нечеткой математики и методы теории вероятностей, такие модели называются нечетко-вероятностными. Если вероятностный анализ используется в различных прикладных исследованиях уже в течение веков, то нечеткая математика возникла только в 60-е годы XX века. Нечетко-вероятностное моделирование развивается, начиная с 70-х годов прошлого века. Здесь получено много важных результатов. Такие направления финансовой экономики как портфельная теория, оценка производных финансовых инструментов, хеджирование, анализ равновесия на финансовых рынках и состоят (в теоретическом плане) из математических моделей, и главную роль здесь играют модели, включающие неопределенность. При этом многие из возникающих задач являются по своему математическому содержанию оптимизационными задачами. Прорывным стало использование систем нечетких правил в эконометрических моделях. В реальной эконометрической модели следует допустить, что характер влияния регрессоров на объясняемые переменные может изменяться (вплоть до противоположного) при изменении показателей экономической системы. Однако в классических линейных эконометрических моделях коэффициенты при регрессорах постоянные, т.е. характер влияния каждого регрессора остается неизменным. Системы нечетких правил дают возможность «собирать» эконометрическую модель из нескольких линейных моделей, каждая из которых соответствует своей группе значений показателей экономической системы (одна группа значений – одно нечеткое правило – одна линейная модель). При этом данные линейные модели плавно комбинируются при изменении показателей экономической системы. Важно, что при оценке параметров этих линейных моделей используются все имеющиеся наблюдения, относящиеся к различным значениям показателей экономической системы. Существуют и алгоритмы, позволяющие оптимальным образом находить указанные группы значений, а также определять их число. Разумеется, и в классической эконометрике имеются подходы, направленные на преодоление указанной проблемы, разработаны различные классы нелинейных моделей. Однако использование систем нечетких правил представляется одним из наиболее удачных подходов. При создании курса использовано значительное число современных журнальных публикаций.

Цель освоения дисциплины

приобретение студентами базовых знаний по нечеткой математике и нечетко-вероятностному анализу и по их применению в экономике и финансах
формирование навыков работы с соответствующими абстрактными понятиями, в том числе, и с применением к конкретным прикладным задачам, формирование умения решать задачи

Планируемые результаты обучения

знает основные понятия теории нечетких множеств, примеры применения, умеет решать задачи
знает, как обобщаются некоторые результаты теории вероятностей при замене точных значений на расплывчатые
знает, как обобщаются некоторые результаты математической статистики при анализе нечетких данных
знает, как обобщаются некоторые результаты эконометрики при работе с нечеткими данными
знает основные определения и результаты, относящиеся к нечетким системам, понимает пути практического применения, умеет решать задачи
понимает, каким образом вероятностные конструкции могут использоваться в задачах математического программирования
приобретает навыки использования теоретических конструкций для решения экономических задач
знаком с основами оболочечного анализа данных, в том числе, с использованием нечетких и вероятностных методов
знает, каким образом нечеткие множества используются в теории статистических решений

Содержание учебной дисциплины

Нечеткие множества, операции над ними. Элементы нечеткой логики
Функция принадлежности нечеткого множества. Операции над нечеткими множествами. Принцип расширения. Интуиционистские нечеткие множества. Мера возможности и мера необходимости. Нечеткие числа. Функции нечетких аргументов. Истинность высказывания в нечеткой логике. Различные типы нечетких импликаций.
Нечетко-случайные величины, моменты и распределения нечетко-случайных величин
Нечетко-случайные величины как обобщение случайных величин. Средние, дисперсии и ковариации нечетко-случайных величин, их свойства. Неравенство Коши – Буняковского. Квантильная функция нечетко-случайной величины, выражения для ожиданий.
Теория статистического вывода при анализе нечетких данных
Статистические оценки и проверка гипотез – основные вопросы теории статистического вывода. Оценки средних, дисперсий и ковариаций нечетко-случайных величин. Несмещенность и состоятельность оценок. Метод бутстреп и его применение при проверке гипотез.
Нечетко-случайные регрессия и анализ временных рядов
Сопоставление метода максимального правдоподобия и метода наименьших квадратов в классической регрессионной задаче. Различные виды регрессионных моделей, включающих нечеткость; нечеткость регрессоров и нечеткость коэффициентов. Подходы к построению регрессионной зависимости при наличии нечеткости: применение метода наименьших квадратов и сведение к задаче математического программирования. Повышение предсказательной силы регрессионной модели за счет определения свободного члена путем решения задачи вариационного исчисления. Несмещенность оценки коэффициента при нечеткой регрессии. Использование метода бутстреп, доверительные интервалы для коэффициента регрессии. Проверка гипотез при регрессии с нечеткими данными. Применение к модели оценки фондовых активов. Линейные нечетко-случайные модели для нечетких временных рядов. Нечетко-случайные процессы авторегрессии – скользящего среднего.
Эконометрические модели типа Такаги–Сугено
Системы нечетких правил. Определение параметров консеквента методом наименьших квадратов. Методы определения параметров антецедента и числа нечетких правил. Примеры моделирования временных рядов, в том числе, с кластеризацией волатильности.
Стохастическое программирование
Детерминированные и стохастические задачи математического программирования, линейные и нелинейные задачи. Примеры использования стохастического программирования для нахождения оптимальных решений в задачах с неизвестным будущим потреблением. Метод плавающих множеств в задаче стохастического линейного программирования.
Нечеткость в задачах оптимизации
Однокритериальные и многокритериальные задачи математического программирования. Симметричный и несимметричный подходы при принятии решений. Задачи с желаемыми уровнями. Использование расплывчатых неравенств. Эффективные и слабо эффективные решения многокритериальных задач. Метод ограничений и его развитие для многокритериальных задач с нечеткими коэффициентами. Применение ранжирующих функций. Дефазификация. Меры возможности и меры необходимости в задачах нечеткой оптимизации.
Нечетко-случайные методы в портфельной теории
Задача портфельной теории как многокритериальная задача математического программирования. Применение нечетких чисел при отсутствии (или недостатке) информации. Применение нечетких чисел для задания минимальной, максимальной и средней дневной цены акции одним нечетким числом. Вероятностный, нечеткий и нечетко-случайный подходы к нахождению эффективных портфелей. Оптимизация портфеля с учетом ликвидности акций.
Нечетко-случайный оболочечный анализ данных
Модели затраты – выпуск. Оболочечный анализ данных: постановка и решение задач линейного программирования для сопоставления технических эффективностей нескольких схожих организаций. Решение задачи при отсутствии точной информации о значениях входных и выходных переменных: стохастический, нечеткий и нечетко-случайный подходы.
Нечеткость в теории статистических решений
Функции потерь и функции риска. Недопустимые, допустимые, минимаксные и байесовские решающие правила. Задачи с нечеткими исходными данными и задачи с нечеткими потерями.

Элементы контроля

домашнее задание
экзамен
( в 2019-2020 уч.году дисциплина не состоялась - не выбрана студентами)
самостоятельная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.3 * домашнее задание + 0.7 * экзамен

Программа дисциплины