• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Математический анализ I

Статус: Курс обязательный (Экономика)
Направление: 38.03.01. Экономика
Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 7

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является изучение разделов «Пределы функций», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений – I», «Методы оптимальных решений – II», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория игр», «Эконометрика». Курс "Математический анализ" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами-экономистами математической компоненты своего профессионального образования.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью освоения дисциплины «Математический анализ I» является изучение начального курса математического анализа, который включает базовые разделы: «Основы теории множеств», «Пределы функций», «Дифференциальное исчисление. Курс «Математический анализ I» будет в дальнейшем использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике. Дисциплина является теоретическим и модельным прикладным аппаратом для изучения студентами-экономистами математической компоненты своего профессионального образования
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • демонстрирует знание базовых понятий теории множеств и операций над ними, основных функций и их свойств, умение строить, в том числе с помощью простейших преобразований, графики функций, работать с множествами, знание понятий обратная функция, композиция функций
  • демонстрирует знание понятий предела функции, непрерывности функции, умение вычислять пределы, исследовать функцию на непрерывность
  • демонстрирует умение дифференцировать функции, вычислять пределы функций с помощью производной, исследовать функции и строить их графики с помощью производных
  • демонстрирует знание геометрической интерпретации двумерных векторов, понятий расстояния и последовательности на плоскости
  • демонстрирует умение работать с функциями нескольких переменных – находить ООФ, линии и поверхности уровня
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение. Элементы теории множеств
    Элементы математической логики: логические символы, утверждение, следствие, прямая и обратная теоремы, необходимые и достаточные условия. Элементы теории множеств Понятие множества и подмножества. Пустое множество. Операции над множествами. Декартово произведение множеств. Соответствие, отношение, бинарное отношение. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Метод математической индукции. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой, эквивалентность этих множеств. Свойства действительных чисел. Подмножества множества действительных чисел. Ограниченные (сверху, снизу) и неограниченные (сверху, снизу) множества. Наибольший (наименьший) элемент множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Теорема о существовании верхней (нижней) грани. Понятие окрестности действительного числа (точки) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества на числовой прямой. Внутренние и граничные точки. Открытые и замкнутые множества. Отображения Понятие отображения (функции), его области определения и области значений. Обратное отображение. Композиция отображений. Инъективное, сюръективное и биективное отображения.
  • Метрические пространства. Предел
    Метрики в множестве. Евклидово пространство. Множества в метрическом пространстве. Предел последовательности в метрическом пространстве. Предел числовой последовательности. Единственность предела последовательности. Сходящаяся последовательность. Предельный переход в неравенстве. Сжатые последовательности. Векторные пространства над R. Норма в векторном пространстве. Топологические понятия в R^m. Арифметические действия над сходящимися последовательностями в нормированном пространстве. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые. Топология на числовой прямой. Понятие окрестности действительного числа (точки) и окрестности с выколотым центром. Понятие предельной точки точечного множества на числовой прямой. Внутренние, внешние, граничные точки. Открытые и замкнутые множества. Компакт. Определения предела отображения. Основные свойства передела отображения. Арифметические действия над отображениями, имеющими предел. Предел функции одной переменной. Односторонние и двусторонние пределы. Бесконечно малые (бесконечно большие) величины и их связь с пределами функций. Функции одной переменной, не имеющие предела в точке и на бесконечности. Свойства операции предельного перехода. Предельный переход в сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей. Двойные (повторные) пределы.
  • Непрерывность
    Непрерывные отображения. Непрерывность функции в точке и на множестве. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Асимтоты. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций. Непрерывность сложной функции.
  • Введение в дифференциальное исчисление
    Линейные операторы в евклидовых пространствах. Норма линейного оператора. Дифференцируемое отображение. Матрица Якоби. Правила дифференцирования. Функция одной переменной: Производная функции одной переменной. Геометрический смысл производной. Экономический смысл производной. Уравнение касательной. Функция нескольких переменных: Дифференцируемость и частные производные. Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл производной. Экономический смысл производной. Уравнение касательной. Функция одной переменной: Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков функции одной переменной. Частные производные высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически, и неявных функций. Логарифмическое дифференцирование. Степенно-показательная функция. Дифференциал.
  • Дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных
    ФОП: Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Локальный экстремум (продолжение). Выпуклость/вогнутость. Точки перегиба. Формула Тейлора. ФМП: Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума. Условный экстремум. Экстремум неявной функции. Глобальный экстремум.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1
  • неблокирующий Контрольная работа 2
  • неблокирующий Контрольная работа 3
  • неблокирующий Контрольная работа 4
  • неблокирующий Экзамен
  • неблокирующий Самостоятельная работа
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.116 * Контрольная работа 1 + 0.145 * Контрольная работа 2 + 0.116 * Контрольная работа 3 + 0.145 * Контрольная работа 4 + 0.058 * Самостоятельная работа + 0.42 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров-М.:Издательство Юрайт,2016-660-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-2733-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342
  • Кудрявцев Л.Д.-КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров-М.:Издательство Юрайт,2016-720-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-6126-3, 978-5-9916-2293-6, 978-5-9916-6127-0, 978-5-9916-6128-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Путко Б.А., Тришин И.М., Кремер Н.Ш. - под ред.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Т. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2016-634-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-6238-3, 978-5-9916-6298-7, 978-5-9916-6300-7: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-t-388079
  • Шипачев В.С.-ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС 4-е изд., испр. и доп. Учебник для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2016-607-Бакалавр. Академический курс-978-5-9916-4358-0: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/vysshaya-matematika-polnyy-kurs-388659