Теория вероятностей и математическая статистика

Бакалавриат 2019/2020

Статус: Курс обязательный

Направление: 38.03.05. Бизнес-информатика

Кто читает: Направление «Бизнес-информатика» Высшей школы бизнеса НИУ ВШЭ

Где читается: Направление «Бизнес-информатика» Высшей школы бизнеса НИУ ВШЭ

Когда читается: 1-й курс, 1 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Язык: русский

Кредиты: 5

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» изучает прикладные методы статистического анализа данных, основные понятия теории вероятностей и математической статистики. Рассматриваются вероятностные методы исследования случайных величин и случайных процессов. Студенты научаться вычислять вероятность случайного события; вычислять числовые характеристики случайной величины; вычислять вероятность попадания случайной величины в заданную область; использовать статистические критерии для проверки гипотез относительно наблюдаемых случайных данных; оценивать неизвестные параметры статистической модели.

Цель освоения дисциплины

Сформировать теоретические знания в области теории вероятностей и математической статистики.
Обучить студентов применять основные модели и методы математической статистики для обработки реальных данных.

Планируемые результаты обучения

знать: -основные понятия теории вероятностей (вероятность, случайное событие, случай-ная величина, числовые характеристики случайных величин и их свойства, случайный вектор и его характеристики, независимость и некоррелированность случайных величин); -основные законы распределения случайных величин; -виды сходимости случайных величин; - предельные теоремы теории вероятностей;

Содержание учебной дисциплины

Основные понятия теории вероятностей. Случайные события
Предмет теории вероятностей. Понятие пространства элементарных событий. Случайные события. Сигма-алгебра случайных событий. Классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое определения вероятности случайного события. Основные свойства вероятности. Условные вероятности. Независимые случайные события. Формулы сложения и умножения вероятностей. Биномиальная схема испытаний. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Случайные величины
Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Основные числовые характеристики дискретных случайных вели-чин и их свойства. Распределение Бернулли. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины и ее свойства. Определение математического ожидания непрерывной случайной величины. Распределение Коши. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства. Определение квантили. Функциональное преобразование случайной величины.
Случайные векторы
Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Дискретные случайные векторы и способы их задания. Непрерывные случайные векторы. Свойства плотности распре-деления вероятности непрерывного случайного вектора. Определение независимых слу-чайных величин. Числовые характеристики случайного вектора. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Соотношение между некоррелированны-ми и независимыми случайными величинами. Ковариационная и корреляционная матрицы. Условные законы распределения. Условные числовые характеристики. Формула полного математического ожидания.
Предельные теоремы теории вероятностей
Неравенства Чебышева. Различные виды сходимости случайных последовательностей: сходимость по вероятности, сходимость в среднеквадратическом, сходимость почти наверное, слабая сходимость. Связь между указанными видами сходимости (без доказательства). Закон больших чисел в форме Чебышева и в форме Хинчина. Теорема Бернул-ли. Центральная предельная теорема (без доказательства). Теорема МуавраЛапласа как частный случай центральной предельной теоремы. Неравенство Берри-Эссена (без доказательства).
Основные понятия математической статистики. Оценивание параметров
Основные задачи математической статистики. Основные понятия выборочной теории: выборка, выборочное пространство; вариационный ряд, ранг элемента выборки, эмпирическая функция распределения; гистограмма; выборочные числовые характеристики, точечные оценки параметров. Свойства точечных оценок параметров: несмещённость, состоятельность, оптимальность в среднеквадратическом, эффективность по Рао-Крамеру. Неравенство Рао-Крамера (без доказательства). Основные методы нахождения точечных оценок параметров: метод максимального правдоподобия (ММП) и метод моментов (ММ). Свойства МП и ММ-оценок. Распределения, связанные с гауссовским (распределение хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера). Доверительное оце-нивание параметров. Центральная статистика. Построение доверительных интервалов параметров в одновыборочных и двувыборочных гауссовских моделях. Асимптотические доверительные интервалы.
Проверка статистических гипотез
Простые и сложные статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Стати-стический критерий. Функция мощности критерия. Состоятельные критерии. Алгоритм проверки статистической гипотезы. Лемма Неймана-Пирсона (без доказательства). Критерий Стьюдента и критерий Фишера для проверки параметрических гипотез в двухвыборочных гауссовских моделях. Критерий Колмогорова для проверки простой гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерии согласия хи-квадрат для проверки простых и сложных гипотез о виде распределения случайной величины. Таблица сопряжённости признаков. Критерии проверки независимости двух случайных величин.

Элементы контроля

Контрольная работа 1
контрольная работа 2

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (1 модуль)
0.5 * Контрольная работа 1 + 0.5 * контрольная работа 2

Программа дисциплины