• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Магистратура 2019/2020

Математико-статистические методы исследования экстремальных событий

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Направление: 38.04.01. Экономика
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Прогр. обучения: Статистическое моделирование и актуарные расчеты
Язык: русский
Кредиты: 5
Контактные часы: 60

Программа дисциплины

Аннотация

Задача статистического оценивания распределения экстремальных значений экспериментальных данных и статистических выборок является одной из важнейших задач теории вероятностей и математической статистики. Поведение экстремальных значений статистических данных и их прогнозирование, как правило, является предметом первоочередного внимания исследователя. Эта задача актуальна и в финансово-экономической сфере, например, при оценивании вероятностей ценовых пиков и провалов, больших страховых выплат, продолжительности жизни в задачах страхования, оценивании финансовых рисков, а также в других задачах исследования экономических процессов. В подобных задачах вопрос о поведении данных (цен, курсов валют,…) в диапазоне средних значений не являются предметом исследования. Аналонично, в актуарных расчетах,при определении страховойпремии имеет основное значение не средняя продолжительность жизни, а средняя продолжительность доживания, то есть учитывается возраст страхователя. При этом данные дополнительно цензурируются вероятностями рисков в различныхусловиях. В связи с этим математико-статистические методы исследования довольно сильно отличаются от стандартных методов математической стаистики, и безусловно требуется отдельный курс с изложеним этих методов. В настоящее время этот круг вопросов практически представляет собой отдельную дисциплину – статистический анализ экстремальных значений.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью дисциплины является формирование навыков использования математико-статистических методов исследования экстремальных значений данных о различных экономических процессах с целью оценивания и прогнозирования экономических и финансовых рисков и других сопутствующих показателей.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знает основные понятия и факты теории вероятностей и математической статистики и умеет ими пользоваться.
  • Понимает значение статистических исследований, связанных с разрушениями, разорениями, катастрофами, другими экстремальными событиями.
  • Знает и умеет применять основные приемы аппроксимации распределения экстремума выборки. Знает основные результаты вероятностной теории экстремумов. Знать основные результаты теории правильно меняющихся функций.
  • Понимает, что такое вероятностная бумага и умеет ею пользоваться. на примерах применения гистограммы и графической проверки гипотез о распределении экстремума выборки.
  • Знать и уметь применять оценки максимального правдоподобия экстремального индекса и других параметров. Знать основные свойства стандартных оценок.
  • Умение применять статистические методы оценивания нормирующих последовательностей для различных областей притяжения. Понимать значение изученных методов для оценивания финансовых, экономических и актуарных рисков.
  • Знать основные результаты о математической модели финансово-актуарного процесса риска.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Тема 1. Напоминания из теории вероятностей и математической статистики.
    Вероятностное пространство, случайные величины, законы распределения, математическое ожидание, дисперсия, производящие и характеристические функции, сходимость случайных величин, законы больших чисел, центральная предельная теорема. Независимость случайных величин. Основные дискретные и непрерывные распределения. Основные методы точечного и интервального статистического оценивания, методы проверки статистических гипотез.
  • Тема 2. Экстремальные события в природе, экономике, финансах, страховании. Примеры.
    Значение статистических исследований, связанных с разрушениями, разорениями, катастрофами, другими экстремальными событиями. История возникновения дисциплины. Связь с экстремальными значениями статистических наблюдений. Примеры из экономики, финансов, страхования, климатологии.
  • Тема 3. Основные результаты и факты вероятностной теории экстремумов.
    Пуассоновская аппроксимация распределения экстремума выборки. Примеры. Максимально устойчивые распределения. Теорема Фишера-Типпета-Гнеденко. Области притяжения экстремальных законов. Критерии принадлежности функции распределения к максимальной области притяжения. Понятие о правильно изменяющихся функциях. Теорема Караматы. Представление фон Мизеса. Обобщенная форма экстремального закона распределения.
  • Тема 4. Графическое статистическое исследование экстремальных значений.
    Понятие о вероятностной бумаге. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. Понятие о квантильной бумаге, ее свойства. Графическая проверка гипотезы о принадлежности экстремальному типу. Другие примеры использования. Функция среднего эксцесса.
  • Тема 5. Статистическое оценивание экстремального индекса выборки.
    Оценки максимального правдоподобия. Представление Реньи. Оценивание параметра формы. Оценка Пикандса экстремального индекса. Оценка Хилла экстремального индекса. Связь с оценкой максимального правдоподобия. Свойства состоятельности. Асимптотическая нормальность. Области применения различных оценок. Примеры использования.
  • Тема 6. Методы статистического оценивания других параметров экстремальных значений.
    Статистические методы оценивание нормирующих последовательностей для различных областей притяжения. Методы оценивание хвоста распределения и квантилей высокого уровня на основе статистической теории экстремумов. Значение для оценивания финансовых, экономических и актуарных рисков.
  • Тема 7. Основы вероятностной теории риска.
    Понятие о финансово-актуарном процессе риска. Теорема Крамера-Лундберга.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Оценка за работу в течение семестра, вкл. домашние задания
  • неблокирующий контрольная работа
  • неблокирующий итоговая контрольная работа
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.6 * итоговая контрольная работа + 0.2 * контрольная работа + 0.2 * Оценка за работу в течение семестра, вкл. домашние задания
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Вероятность -. Кн.1: Вероятность - 1 : элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы, Ширяев, А. Н., 2007
  • Вероятность -. Кн.2: Вероятность - 2 : суммы и последовательности случайных величин - стационарные, мартингалы, марковские цепи, Ширяев, А. Н., 2007

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Мхитарян, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] : учеб. пособие / В. С. Мхитарян, Е. В. Астафьева, Ю. Н. Миронкина, Л. И. Трошин; под ред. В. С. Мхитаряна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013. - (Университетская серия). - ISBN 978-5-4257-0106-0. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/451329