Бакалавриат
2019/2020
Алгебра
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Курс обязательный (Математика)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Кафедра фундаментальной математики
Когда читается:
1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Язык:
русский
Кредиты:
8
Контактные часы:
144
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина направлена на освоение понятий и утверждений теории определителей, систем линейных уравнений и матричной алгебры; теории многочленов и комплексных чисел; основ теории линейных пространств; знакомство с теорией алгебраических систем (группа, кольцо, поле).
Цель освоения дисциплины
- Освоение фундаментальных понятий и результатов высшей алгебры, линейной алгебры, теории классических алгебраических систем.
- Формирование умений и навыков в решении алгебраических задач.
- Знакомство с основными вычислительными алгоритмами алгебры.
Планируемые результаты обучения
- Знать определения и утверждения из теории систем линейных уравнений
- Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
- Уметь доказывать результаты из теории систем линейных уравнений
- Знать определения и результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
- Уметь вычислять определители.
- Уметь доказывать результаты результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
- Уметь выполнять действия с матрицами, уметь находить обратную матрицу
- уметь определять четность подстановки, перестановки, уметь выполнять действия с подстановками
- Уметь находить ранг матрицы, уметь решать системы линейных уравнений, уметь находить фундаментальную систему решений
- Уметь находить наибольший общий делитель, раскладывать на множители, выполнять действия в кольце классов вычетов
- Уметь выполнять действия с комплексными числами, записывать тригонометрическую форму, находить корни из комплексных чисел
- Уметь выполнять действия с многочленами, делить многочлен на многочлен, находить наибольший общий делитель многочленов, определять кратность корня, отделять корни многочленов методом Штурма
- Уметь определять линейную зависимость системы векторов, находить базис и размерность подпространства, находить базисы суммы и пересечения, матрицы перехода от одного базиса к другому.
- Уметь находить матрицу линейного оператора в различных базисах.
- Знать определения и утверждения теории матриц
- Уметь доказывать результаты из теории матриц
- Знать определения и утверждения теории систем линейных уравнений
- Уметь доказывать результаты теории систем линейных уравнений
- Знать определения и утверждения теории делимости в кольце целых чисел
- Уметь доказывать результаты теории делимости в кольце целых чисел
- Знать определения и утверждения из теории комплексных чисел
- Уметь доказывать результаты теории комплексных чисел
- Знать определения и утверждения теории многочленов
- Уметь доказывать результаты теории многочленов
- Знать определения и утверждения теории векторных пространств
- Уметь доказывать результаты теории векторных пространств
- Знать определения и утверждения теории линейных отображений
- Уметь доказывать результаты теории линейных отображений
Содержание учебной дисциплины
- Метод последовательного исключения неизвестных.Общие определения. Метод Гаусса. Критерий совместности.
- Теория определителей.Определители малых порядков. Перестановки и подстановки. Определители n-го порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Правило Крамера.
- Поле комплексных чисел.Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, операции. Степень и извлечение корня из комплексного числа. Группа корней из единицы.
- Алгебра матриц.Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц, обратная матрица. Основные определения, утверждения и примеры групп, колец, полей.
- Системы линейных алгебраических уравнений.n-мерное арифметическое пространство. Ранг матрицы. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Однородные системы. Фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной системы и присоединенной однородной системы.
- Делимость в кольце целых чисел.Делимость целых чисел. Свойства. НОД и НОК. Свойства. Алгоритм Евклида. Взаимно простые числа. Свойства, критерий взаимной простоты. Простые числа и их свойства. Решето Эратосфена. Теорема Евклида. Основная теорема арифметики, следствия из нее. Кольцо вычетов по модулю m. Целостные кольца. Поле вычетов. Характеристика поля.
- Кольцо многочленов.Определение кольца многочленов. Делимость в кольце многочленов. Факториальность кольца многочленов над полем. Корни многочленов. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Многочлены с действительными коэффициентами. Локализация корней: теорема Штурма.
- Векторные пространства.Линейная зависимость, базис, размерность. Подпространства, сумма и пересечение подпространств, прямая сумма. Координаты, матрица перехода от одного базиса к другому.
- Линейные отображения.Действия с линейными отображениями, их матрицы. Ядро, образ, ранг, дефект линейного отображения.
Элементы контроля
- контрольная работа
- коллоквиум
- устный экзаменЭкзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа + 0.7 * устный экзамен
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа + 0.7 * устный экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
- Введение в алгебру, учебник, Ч. 1, 2-е изд., испр., 272 с., Кострикин, А. И., 2001
- Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
- Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 9-е изд., испр., 376 с., Беклемишев, Д. В., 2001
- Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
- Сборник задач по алгебре, учебное пособие : в 2 т., Т. 1, под ред. А. И. Кострикина, 264 с., , 2007
- Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017
Рекомендуемая дополнительная литература
- Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
- Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016