• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Математика)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 17

Программа дисциплины

Аннотация

Математический анализ занимает основополагающую позицию в образовании студентов специальности «Математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, таких как дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теория функций действительных переменных, теория функций комплексных переменных, вычислительные методы, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей и других
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знать аксиоматическое определение поля вещественных чисел. Знать графики основных элементарных функций: прямая, парабола, кубическая парабола, окружность, гипербола, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их свойства.
  • Знать определение предела последовательности, основные свойства пределов, замечательные пределы. Знать определение предела функции, уметь графически его интерпретировать. Уметь вычислять пределы функций, исследовать функцию на непрерывность.
  • Знать таблицу производных и правила их вычисления. Владеть техникой вычисления производной функции заданной явно, неявно, параметрически. Уметь использовать правило Лопиталя для вычисления пределов.Знать разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена. Уметь провести исследование функции с помощью производной и построить её график. Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
  • Знать правила вычисления и таблицу интегралов. Уметь выбрать подходящий способ для вычисления интеграла функции. Владеть основными методами вычисления интегралов: замена переменной, интегрирование по частям, вычисление интеграла от рациональной функции. Знать замены, приводящие к интегралу от рациональной функции. Уметь вычислять с помощью определённого интеграла площадь плоской фигуры, длину дуги, объём и площадь поверхности тела вращения.
  • Знать определения предела, непрерывности, дифференцируемости функции многих переменных. Уметь вычислять частные производные, а также по направлению; строить касательную плоскость и нормаль к поверхности.Уметь находить экстремум функции нескольких переменных, её наибольшее и наименьшее значения. Владеть техникой нахождения условного экстремума.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение в анализ
    Аксиоматическое определение вещественных чисел. Рациональные и иррациональные числа. Абсолютная величина и её свойства. Верхние и нижние грани множеств. Функция действительного переменного, область определения и область изменения, способы задания функции. Графики основных элементарных функций.
  • Пределы последовательности и функции. Непрерывность функции
    Понятие последовательности действительных чисел. Предел последовательности, его геометрический смысл. Свойства предела последовательности. Число e. Понятие подпоследовательности, частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности. Вычисление пределов по-следовательностей. Предел функции действительного переменного по Коши и по Гейне. Геометрический смысл предела функции. Односторонние пределы. Свойства пределов функций. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Первый и второй замечательные пределы и следствия из них. Классификация бесконечно малых. Вычисление пределов. Непрерывность функции действительного переменного в точке и на множестве. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной
    Производные и односторонние производные. Дифференциал и его геометрический смысл. Произ-водные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого и неинвариантность формы высших дифференциалов. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. Производная функции, заданной неявно. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Разложения по формуле Маклорена основных элементарных функций. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков.
  • Интегральное исчисление функций одной переменной
    Первообразная и неопределенный интеграл. Техника интегрирования (непосредственное интегрирование с помощью таблиц, метод разложения, замена переменной, интегрирование по частям,интегрирование рациональных функций). Сведение интегралов от иррациональных и тригонометрических функций к интегрированию рациональных функций. Определенный интеграл. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложение определенного интеграла к вычислению длин дуг, площадей плоских фигур, объемов и площадей поверхности тел вращения.
  • Дифференциальное исчисление функций многих переменных
    Предел и непрерывность функций многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции многих переменных. Производная сложной функции. Диф-ференциал функции многих переменных, применение дифференциалов к приближенным вычислениям. Производная по направлению. Градиент. Связь производной по направлению с градиентом. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство сме-шанных производных. Формула Тейлора. Экстремум. Неявные функции. Теоремы о существовании неявной функции. Функциональные определители. Существование системы неявных функций. Условный экстремум. Правило множителей Лагранжа. Замена переменных в дифференциальных выражениях.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • Контрольная работа (неблокирующий)
  • Коллоквиум (неблокирующий)
  • экзамен (неблокирующий)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.3 * Коллоквиум + 0.3 * Контрольная работа + 0.4 * экзамен
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * Коллоквиум + 0.3 * Контрольная работа + 0.4 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Максимова О. Д.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2-е изд. Учебное пособие для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-200-Университеты России-978-5-534-07222-8: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-primerah-i-zadachah-predel-funkcii-442137
  • Максимова О. Д.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2-е изд. Учебное пособие для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-177-Университеты России-978-5-534-07208-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-primerah-i-zadachah-predel-chislovoy-posledovatelnosti-442138
  • Математический анализ в вопросах и задачах, учебное пособие, под ред. В. Ф. Бутузова, 5-е изд., испр., 480 с., Бутузов, В. Ф., Крутицкая, Н. Ч., Медведев, Г. Н., Шишкин, А. А., 2002
  • Математический анализ, учебник, Ч. 1, 7-е изд., новое доп., XII, 564 с., Зорич, В. А., 2015
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н. ; Под общ. ред. Ильина В.А.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-115-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-08473-3: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-predel-i-nepreryvnost-funkcii-odnoy-peremennoy-441132
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-206-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-06584-8: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-funkcii-mnogih-peremennyh-438941
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н., Хорошилова Е. В., Ильин В. А. ; Под общ. ред. Ильина В.А.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для СПО-М.:Издательство Юрайт,2019-109-Профессиональное образование-978-5-534-08472-6: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-veschestvennye-chisla-i-posledovatelnosti-441194
  • Садовничая И. В., Хорошилова Е. В.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для СПО-М.:Издательство Юрайт,2019-199-Профессиональное образование-978-5-534-06836-8, 978-5-534-06835-1: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-opredelennyy-integral-v-2-ch-chast-2-441163
  • Хорошилова Е. В.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для СПО-М.:Издательство Юрайт,2019-187-Профессиональное образование-978-5-534-06949-5: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-neopredelennyy-integral-441157

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Капкаева Л. С.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2-е изд., испр. и доп. Учебное пособие для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-246-Университеты России-978-5-534-04898-8: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-teoriya-predelov-differencialnoe-ischislenie-438965
  • Никитин А. А., Фомичев В. В.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС 2-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-460-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-00464-9: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-uglublennyy-kurs-432899
  • Потапов А. П.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник и практикум для академического бакалавриата-М.:Издательство Юрайт,2019-256-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-04680-9, 978-5-9916-8899-4: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-differencialnoe-i-integralnoe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-v-2-ch-chast-1-433687
  • Садовничая И. В., Фоменко Т. Н., Хорошилова Е. В.-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2-е изд., пер. и доп. Учебное пособие для СПО-М.:Издательство Юрайт,2019-156-Профессиональное образование-978-5-534-06596-1: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/matematicheskiy-analiz-differencirovanie-funkciy-odnoy-peremennoy-441179