Дополнительные главы теории вероятностей 2

2019/2020

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Шабанов Дмитрий Александрович

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 38

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящен изучению различных вероятностных моделей, относящихся к теории случайных процессов и математической статистике. Будут рассмотрены классические модели, как с дискретным, так и непрерывным временем, а также их применения в математической статистике. От слушателей потребуется знание базового курса теории вероятностей и математической статистики (в любом варианте).

Цель освоения дисциплины

Познакомить студентов с различными вероятностными моделями, относящимися к теории случайных процессов и математической статистике

Планируемые результаты обучения

Знает и умеет работать с различными вероятностными моделями, относящимися к теории случайных процессов и математической статистике

Содержание учебной дисциплины

Марковские цепи с дискретным временем
Марковские цепи с дискретным временем. Теорема о независимости "будущего" и "прошлого" при фиксированном "настоящем". Фазовое пространство, переходные вероятности и начальное распределение марковской цепи. Лемма о свойствах переходных вероятностей, уравнения Колмогорова-Чепмена. Примеры: простейшее случайное блуждание на прямой и ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона. Однородные марковские цепи. Стационарное и предельное распределения однородной марковской цепи. Свойство цепи с начальным стационарным распределением. Эргодическая теорема для марковских цепей с дискретным временем. Стационарность и предельность эргодического распределения марковской цепи. Классификация состояний марковской цепи.
Марковские цепи с непрерывным временем
Марковские цепи с непрерывным временем. Свойства переходных вероятностей. Теорема о существовании марковской цепи с заданными начальным распределением и переходными вероятностями. Однородные марковские цепи с непрерывным временем. Стохастическая полугруппа матриц переходных вероятностей. Стационарное и предельное распределения марковской цепи. Эргодическая теорема (б/д). Три следствия из эргодической теоремы: свойства эргодического распределения. Инфинитезимальная матрица марковской цепи с непрерывным временем. Существование инфинитезимальной матрицы для стандартной марковской цепи (б/д). Обратные дифференциальные уравнения Колмогорова. Прямые дифференциальные уравнения Колмогорова для марковской цепи с непрерывным временем. Следствия из них: уравнения для нахождения распределения цепи в произвольный момент времени t и для нахождения эргодического распределения.
Энтропия и ее применения
Энтропия распределения дискретной случайной величины (вектора), совместная и условная энтропия. Основные свойства энтропии. Неравенство Ширера. Задача о чисел независимых множеств в регулярных графах, гипотеза Алона. Доказательство гипотезы для двудольных графов с помощью энтропии. Доказательство гипотезы в общем случае.
Начала последовательного анализа
Постановка задачи последовательного анализа. Построение критерия для проверки двух простых гипотез. Среднее число измерений, необходимых для различения гипотез, сравнение с классическим вариантом.
Сходимость по распределению случайных процессов
Слабая сходимость вероятностных мер в метрических пространствах, борелевская сигма-алгебра в метрическом пространстве. Теорема Александрова. Цилиндрическая и борелевская сигма-алгебры на C[0,1]. Сходимость по распределению случайных процессов с непрерывными траекториями на [0,1], наследование сходимости при взятии непрерывной функции. Принцип инвариантности Донскера-Прохорова (б/д).
Критерий Колмогорова в математической статистике
Критерии согласия в непрерывном случае. Теорема Колмогорова (формулировка) и распределение Колмогорова. Доказательство первой части теоремы Колмогорова: доказательство независимости распределения статистики от вида истинной функции распределения. Критерий Колмогорова и его свойства. Лемма о сходимости статистики в теореме Колмогорова по распределению к максимуму модуля броуновского моста на [0,1]. Броуновский мост, его распределение как предел условных распределений винеровского процесса. Нахождение распределения максимума модуля броуновского моста с помощью перехода к случайному блужданию.

Элементы контроля

Домашнее задание
Самостоятельное решение задач по курсу
Экзамен
Устный экзамен по материалу лекций Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе Zoom (www.zoom.us). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 3 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 3 минуты и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.7 * Домашнее задание + 0.3 * Экзамен

Программа дисциплины