• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Клеточная и молекулярная биотехнология)
Направление: 06.03.01. Биология
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

Данная дисциплина является обязательной дисциплиной программы и служит основой для профессиональной ориентации студентов при выборе дисциплин из вариативной части Программы. Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за пределы требованиям к поступающим на программу бакалавриата. Целью освоения дисциплины является ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория пределов и непрерывных функций, теория дифференциального исчислений функции одной переменной, неопределённое и определённое интегрирование, дифференциальное исчисление функций многих переменных. Кроме того, дисциплина нацелена на формирование практических навыков работы с пределами последовательностей и функций, с непрерывными функциями, с производными и дифференциалами функции одной переменной, с неопределёнными и определёнными интегралами, с непрерывными функциями многих переменных, с частными производными и дифференциалами функций многих переменных.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
  • Подготовить слушателей к чтению современных текстов по экономической теории, использующих модели и методы многомерного математического анализа.
  • Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции.
  • Научить слушателей давать оценку предельного поведения различных функций.
  • Продемонстрировать возможность исследования зависимости экстремумов от параметров.
  • Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
  • Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • знает и умеет пользоваться методами теории множеств
  • Освоение понятия дифференцируемых числовых функций.
  • обладает навыком нахождения пределов последовательностей и функций и определения участков непрерывности функции
  • умеет находить производные функций одной переменной и частные производные функций многих переменных, а также точки экстремума
  • использует методы интегрального исчисления для нахождения неопределённых и определённых интегралов функций одной переменной
  • умеет применять специальные методы вычисления пределов, производных и интегралов
  • владеет навыками исследования поведения функции методами дифференциального исчисления и построения её графика
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной: множества и функции, логические символы, действительные числа, числовые множества.
    Множества. Операции над множествами. Функции. Конечные множества и натуральные числа. Группировки элементов конечного множества. Логические символы. Свойства действительных чисел. Формула бинома Ньютона. Расширенная числовая прямая. Промежутки действительных чисел. Окрестности. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Принцип Архимеда. Принцип вложенных отрезков.
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной: предел числовой последовательности.
    Определение и единственность предела числовой последовательности. Переход к пределу в неравенствах. Ограниченность сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной: предел и непрерывность функций.
    Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая интерпретации производной. Уравнение касательной. Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков.
  • Дифференциальное исчисление функций одной переменной: понятие производной и дифференциала.
    Производная и дифференциал первого и высших порядков и их свойства. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование поведения функций.
  • Интегральное исчисление функций одной переменной: первообразная, неопределённый интеграл.
    Определение и свойства неопределённого интеграла. Первообразная. Табличные интегралы. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных и трансцендентных функций.
  • Интегральное исчисление функций одной переменной: определённый интеграл и его свойства.
    Определение интеграла Римана. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Свойства интегрируемых функций. Определённый интеграл с переменными пределами интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям. Некоторые практические приложения определённого интеграла.
  • Ряды: числовые ряды.
    Определение числового ряда, его сходимость и свойства. Критерий Коши сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми. Интегральный признак сходимости. Сравнительные признаки сходимости. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов. Некоторые свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Перестановки слагаемых абсолютно и условно сходящихся рядов. Умножение рядов.
  • Ряды: функциональные последовательности и ряды.
    Сходимость, равномерная сходимость и свойства функциональных последовательностей и рядов.
  • Ряды: степенные ряды.
    Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитические функции. Формула и ряд Тейлора. Методы разложения функций в степенные ряды.
  • Дифференциальное исчисление функций многих переменных: многомерные пространства, последовательности точек и предел и непрерывность функций многих переменных.
    Окрестности точек. Последовательности точек, их предел и свойства. Многомерные векторные пространства. Функции многих переменных и отображения. Предел, непрерывность и свойства отображений.
  • Дифференциальное исчисление функций многих переменных: частные производные и дифференциалы.
    Частные производные функций многих переменных первого и высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных. Экстремум функций многих переменных.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
    В выдаваемом задании указано число баллов, даваемых за полное решение каждой задачи, а также формула перевода суммы набранных баллов в оценку за элемент контроля. Оценке «10» соответствует верное решение примерно 80% задания.
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Письменная работа
    Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие микрофона и видеокамеры. Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: учебниками и какими-либо другими дополнительными материалами. Во время экзамена студентам разрешено: пользоваться калькулятором. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается до 15 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается более 15 минут. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    В выдаваемом задании указано число баллов, даваемых за полное решение каждой задачи, а также формула перевода суммы набранных баллов в оценку за элемент контроля. Оценке «10» соответствует верное решение примерно 80% задания.
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    В выдаваемом задании указано число баллов, даваемых за полное решение каждой задачи, а также формула перевода суммы набранных баллов в оценку за элемент контроля. Оценке «10» соответствует верное решение примерно 80% задания.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Краткий курс математического анализа. Т.1: Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды, Кудрявцев Л. Д., 2008
  • Краткий курс математического анализа. Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ, Кудрявцев Л. Д., 2008
  • Сборник задач по математическому анализу. Т. 1: Предел. Непрерывность. Дифференцируемость, Кудрявцев, Л. Д., 2012
  • Сборник задач по математическому анализу. Т. 2: Интегралы. Ряды, Кудрявцев, Л. Д., 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 : учебник. В 3-х тт., Фихтенгольц Г. М., 2009
  • Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 : учебник, Фихтенгольц Г. М., 2009
  • Математический анализ. Т. 1: ., Зорич В. А., 2015
  • Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович Б. П., 2010