• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2019/2020

Дифференциальные уравнения

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат ВШЭ и ЦПМ)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 3-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: Full time
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящён основам теории обыкновенных дифференциальных уравнений и включает в себя изучение общей теории ДУ (теоремы существования и единственности, зависимость от параметров), линейных ДУ, устойчивости решений.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение основных теорем базовых разделов теории дифференциальных уравнений (теорем существования и единственности, теории линейных систем, теория устойчивости)
  • Освоение основных методов для явного решения и качественного исследования дифференциальных уравнений
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Знание общих свойств линейных ОДУ (продолжимость решений, независимость решений в точке и в целом, уравнение Лиувилля-Остроградского). Умение применять их для анализа конкретных линейных ОДУ.
  • Знание основных свойств операторов Коши и преобразований потока. Умение вычислять их в простейших случаях.
  • Знание примеров ОДУ, где отсутствует продолжимость решений на всю область определения правой части
  • Знание результатов, связывающих локальное поведение системы и её линеаризации. Умение их применять к анализу конкретных ДУ.
  • Знание условий дифференцируемости решения ОДУ по параметрам и началым условиям. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
  • Знание условий непрерывной зависимости решения ОДУ от параметров и начальных условий. Умение применить их к исследованию конкретных семейств ОДУ.
  • Знание условий существования и единственности решения ОДУ. Умение применить их к исследованию конкретных ОДУ.
  • Знание утверждений о продолжимости решений ОДУ. Применение их в исследовании конкретных ОДУ.
  • Умение анализировать устойчивость неподвижных точек ОДУ с помощью функций Ляпунова и Четаева, а также с помощью линеаризации векторного поля в окрестности особой точки.
  • Умение дифференцировать и искать разложения Тейлора решения конкретных ОДУ по параметрам и начальным условиям.
  • Умение производить для конкретных ОДУ переход от уравнений высокого порядка к системам, от неавтономных систем к автономным и выполнять простейшие преобразования фазовых координат и времени
  • Умение решать линейные ДУ и системы с постоянными коэффициентами, вычислять матричную экспоненту. Умение решать неоднородные линейные ОДУ, в том числе с квазимногочленами в правой части.
  • Умение решать ОДУ с разделяющимися переменными. Умение применять различные методы для сведения различных классов ОДУ (однородные уравнения и др.) к уравнениям с разделяющимися переменными.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Элементарные свойства ОДУ и систем
    Переход от уравнения высокого порядка к системе ОДУ 1 порядка. Автономные ОДУ. Переход от неавтономного системы к автономной большей размерности
  • Теорема о существовании и единственности решений ОДУ
    Теорема о существовании и единственности решений ОДУ (при определённых условиях на правую часть). Примеры неединственности.
  • Продолжение решений ОДУ
    Существование максимального интервала продолжимости решения. Теорема о продолжении решения до границы компакта.
  • Непрерывная зависимость решений ОДУ от параметров и начальных условий
    Теорема о непрерывной зависимости решений от параметров и начальных условий
  • Оператор Коши и группа потока ОДУ
    Оператор Коши ОДУ. Преобразования потока автономного ОДУ.
  • Метод разделения переменных
    Решение ОДУ методом разделения переменных. Методы сведения различных классов ОДУ к уравнениям с разделяющимися переменными.
  • Общие свойства линейных ОДУ и их систем
    Продолжение решений линейных ОДУ на область определения правой части. Векторное пространство решений. Фундаментальная матрица решений. Определитель Вронского.
  • Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы
    Решение систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Экспонента матрицы. Решение линейных уравнений с квазимногочленами в правой части
  • Гладкая зависимость решений ОДУ от параметров
    Теорема о гладкой зависимости решений ОДУ от параметров и начальных условий. Теорема о выпрямлении векторного поля
  • Локальная теория дифференциальных уравнений вблизи особой точки
    Линеаризация системы. Теорема Гробмана-Хартмана.
  • Устойчивость решений дифференциальных уравнений
    Различные понятия устойчивости особой точки ДУ. Анализ устойчивости с помощью функций Ляпунова и Четаева. Анализ устойчивости по линейной части.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • Домашние задания (неблокирующий)
  • Проверочные работы на семинарах (неблокирующий)
  • Коллоквиум (неблокирующий)
  • Устная сдача задач листков (неблокирующий)
  • Экзамен (неблокирующий)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.08 * Домашние задания + 0.08 * Коллоквиум + 0.16 * Проверочные работы на семинарах + 0.08 * Устная сдача задач листков + 0.6 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Арнольд В. И., ISBN: , 1984

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебник, Петровский И. Г., ISBN: , 1970