2019/2020
Дополнительные главы теории вероятностей 2
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
1, 2 модуль
Преподаватели:
Шабанов Дмитрий Александрович
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
38
Программа дисциплины
Аннотация
Курс посвящен изучению различных вероятностных моделей, относящихся к теории случайных процессов и математической статистике. Будут рассмотрены классические модели, как с дискретным, так и непрерывным временем, а также их применения в математической статистике. От слушателей потребуется знание базового курса теории вероятностей и математической статистики (в любом варианте).
Цель освоения дисциплины
- Познакомить студентов с различными вероятностными моделями, относящимися к теории случайных процессов и математической статистике
Планируемые результаты обучения
- Знает и умеет работать с различными вероятностными моделями, относящимися к теории случайных процессов и математической статистике
Содержание учебной дисциплины
- Марковские цепи с дискретным временемМарковские цепи с дискретным временем. Теорема о независимости "будущего" и "прошлого" при фиксированном "настоящем". Фазовое пространство, переходные вероятности и начальное распределение марковской цепи. Лемма о свойствах переходных вероятностей, уравнения Колмогорова-Чепмена. Примеры: простейшее случайное блуждание на прямой и ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона. Однородные марковские цепи. Стационарное и предельное распределения однородной марковской цепи. Свойство цепи с начальным стационарным распределением. Эргодическая теорема для марковских цепей с дискретным временем. Стационарность и предельность эргодического распределения марковской цепи. Классификация состояний марковской цепи.
- Марковские цепи с непрерывным временемМарковские цепи с непрерывным временем. Свойства переходных вероятностей. Теорема о существовании марковской цепи с заданными начальным распределением и переходными вероятностями. Однородные марковские цепи с непрерывным временем. Стохастическая полугруппа матриц переходных вероятностей. Стационарное и предельное распределения марковской цепи. Эргодическая теорема (б/д). Три следствия из эргодической теоремы: свойства эргодического распределения. Инфинитезимальная матрица марковской цепи с непрерывным временем. Существование инфинитезимальной матрицы для стандартной марковской цепи (б/д). Обратные дифференциальные уравнения Колмогорова. Прямые дифференциальные уравнения Колмогорова для марковской цепи с непрерывным временем. Следствия из них: уравнения для нахождения распределения цепи в произвольный момент времени t и для нахождения эргодического распределения.
- Энтропия и ее примененияЭнтропия распределения дискретной случайной величины (вектора), совместная и условная энтропия. Основные свойства энтропии. Неравенство Ширера. Задача о чисел независимых множеств в регулярных графах, гипотеза Алона. Доказательство гипотезы для двудольных графов с помощью энтропии. Доказательство гипотезы в общем случае.
- Начала последовательного анализаПостановка задачи последовательного анализа. Построение критерия для проверки двух простых гипотез. Среднее число измерений, необходимых для различения гипотез, сравнение с классическим вариантом.
- Сходимость по распределению случайных процессовСлабая сходимость вероятностных мер в метрических пространствах, борелевская сигма-алгебра в метрическом пространстве. Теорема Александрова. Цилиндрическая и борелевская сигма-алгебры на C[0,1]. Сходимость по распределению случайных процессов с непрерывными траекториями на [0,1], наследование сходимости при взятии непрерывной функции. Принцип инвариантности Донскера-Прохорова (б/д).
- Критерий Колмогорова в математической статистикеКритерии согласия в непрерывном случае. Теорема Колмогорова (формулировка) и распределение Колмогорова. Доказательство первой части теоремы Колмогорова: доказательство независимости распределения статистики от вида истинной функции распределения. Критерий Колмогорова и его свойства. Лемма о сходимости статистики в теореме Колмогорова по распределению к максимуму модуля броуновского моста на [0,1]. Броуновский мост, его распределение как предел условных распределений винеровского процесса. Нахождение распределения максимума модуля броуновского моста с помощью перехода к случайному блужданию.
Элементы контроля
- Домашнее заданиеСамостоятельное решение задач по курсу
- ЭкзаменУстный экзамен по материалу лекций Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе Zoom (www.zoom.us). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее 3 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 3 минуты и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Вероятность. Кн. 1: Вероятность - 1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы, Ширяев, А. Н., 2004
- Вероятность. Кн. 2: Вероятность - 2: суммы и последовательности случайных величин - стационарные мартингалы, марковск..., Ширяев, А. Н., 2004
Рекомендуемая дополнительная литература
- Булинский А.В., Ширяев А.Н. - Теория случайных процессов - Издательство "Физматлит" - 2005 - 400с. - ISBN: 978-5-9221-0335-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59319