• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Теория кодирования как введение в алгебру и арифметику

Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 1, 2 модуль
Язык: русский

Программа дисциплины

Аннотация

Линейная алгебра и теория многочленов на полем из двух элементов немедленно приводят нас к таким математическим объектам, как конечная плос-кость Фано, грассманиан конечномерного пространства, лангранжиан (ортого-нальные себе подпространство), расширение поля F2, простая линейная группа GL3(F2) из 168 элементов. Теория кодирования связана с теорией Галуа конечных полей, теорией характеров, классическими линейными и спорадическими простыми группами.Целевая аудитория спецкурса — студенты второго курса и мотивированные студенты первого курса. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: Базовые знание по алгебре: конечномерное линейное пространство, кольцо многочленов, факторгруппа, факторкольцо, квадра-тичная форма.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • В данном спецкурсе мы продолжим линию изучения современной алгебры и арифметики на примерах базовых вопросов теории кодирования.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Слушатели познакомятся с системами корней и их группами Вейля, решетками Нимейера и Лича, дискретным преобразованием Фурье, числами Кэли, матрицами Адамара.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Линейные коды и и их дуальные коды как объекты линейной алгебры над конечными полями. Метрика Хэмминга. Соотношения ортогональности.
  • Конечная проективная плоскость Фано и совершенный код Хэмминга. Группа автоморфизмов кода Хэмминга.
  • Целочисленные решетки An и Dn и их системы корней. Группа Вейля системы корней. Код Хэмминга и четная унимодулярная решетка E8.
  • Целочисленные решетки и их конечные дискриминантные группы. Расширения четных целочисленных решеток. Унимодулярные решетки ранга 16 и 24 (решетки Нимейера).
  • Плотные упаковки евклидова пространства шарами.
  • Код Голлея и решетка Лича. Совершенные коды.
  • Конечные поля и неприводимые многочлены на конечными полями. Введение в теорию Галуа конечных полей, автоморфизм Фробениуса. Неприводимые многочлены над конечным полем. Идеалы и циклические коды.
  • Преобразование Фурье на единичном кубе. Коды и теория инвариантов.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Created with Sketch. Устный доклад
  • неблокирующий Created with Sketch. Индивидуальная работа
  • неблокирующий Created with Sketch. Письменное решение обязательных задач
  • неблокирующий Created with Sketch. Письменное решение дополнительных задач
  • неблокирующий Created with Sketch. Устный колоквиум (или решение теоретических задач)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.2 * Индивидуальная работа + 0.2 * Письменное решение дополнительных задач + 0.2 * Письменное решение обязательных задач + 0.2 * Устный доклад + 0.2 * Устный колоквиум (или решение теоретических задач)
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Влэдуц С.Г., Ногин Д.Ю., Цфасман М.А. — Алгеброгеометрические коды. Основные понятия - Московский центр непрерывного математического образования - 2003 - ISBN: 5-94057-123-9 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9314

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Острик В.В., Цфасман М.А. — Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые - Московский центр непрерывного математического образования - 2001 - ISBN: 5-900916-71-5 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9381