Теория кодирования как введение в алгебру и арифметику

2019/2020

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Гриценко Валерий Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Линейная алгебра и теория многочленов на полем из двух элементов немедленно приводят нас к таким математическим объектам, как конечная плос-кость Фано, грассманиан конечномерного пространства, лангранжиан (ортого-нальные себе подпространство), расширение поля F2, простая линейная группа GL3(F2) из 168 элементов. Теория кодирования связана с теорией Галуа конечных полей, теорией характеров, классическими линейными и спорадическими простыми группами.Целевая аудитория спецкурса — студенты второго курса и мотивированные студенты первого курса. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: Базовые знание по алгебре: конечномерное линейное пространство, кольцо многочленов, факторгруппа, факторкольцо, квадра-тичная форма.

Цель освоения дисциплины

В данном спецкурсе мы продолжим линию изучения современной алгебры и арифметики на примерах базовых вопросов теории кодирования.

Планируемые результаты обучения

Слушатели познакомятся с системами корней и их группами Вейля, решетками Нимейера и Лича, дискретным преобразованием Фурье, числами Кэли, матрицами Адамара.

Содержание учебной дисциплины

Линейные коды и и их дуальные коды как объекты линейной алгебры над конечными полями. Метрика Хэмминга. Соотношения ортогональности.
Конечная проективная плоскость Фано и совершенный код Хэмминга. Группа автоморфизмов кода Хэмминга.
Целочисленные решетки An и Dn и их системы корней. Группа Вейля системы корней. Код Хэмминга и четная унимодулярная решетка E8.
Целочисленные решетки и их конечные дискриминантные группы. Расширения четных целочисленных решеток. Унимодулярные решетки ранга 16 и 24 (решетки Нимейера).
Плотные упаковки евклидова пространства шарами.
Код Голлея и решетка Лича. Совершенные коды.
Конечные поля и неприводимые многочлены на конечными полями. Введение в теорию Галуа конечных полей, автоморфизм Фробениуса. Неприводимые многочлены над конечным полем. Идеалы и циклические коды.
Преобразование Фурье на единичном кубе. Коды и теория инвариантов.

Элементы контроля

Устный доклад
Индивидуальная работа
Письменное решение обязательных задач
Письменное решение дополнительных задач
Устный колоквиум (или решение теоретических задач)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.2 * Индивидуальная работа + 0.2 * Письменное решение дополнительных задач + 0.2 * Письменное решение обязательных задач + 0.2 * Устный доклад + 0.2 * Устный колоквиум (или решение теоретических задач)

Программа дисциплины