• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Научно-исследовательский семинар "Группа кос, R-матрицы и квантовые группы"

Статус: Общефакультетский факультатив
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский

Программа дисциплины

Аннотация

В этом курсе мы обсуждаем несколько тем из теории группы кос и теории квантовых групп, в которых появляется и применяется один из самых известных объектов современной математической физики ——- так называемая R-матрица. R-матрица (в узком понимании этого термина) ——- это решение кубического матричного уравнения Янга-Бакстера, известного также как соотношение Артина или уравнение кос. Сферы применения R-матриц в настоящее время очень разнообразны: от теории точно решаемых моделей статистической физики и теории поля до проблем построения инвариантов узлов, структурной теории и теории представлений квантовых матричных алгебр. В курсе мы знакомим слушателей с алгебраическими корнями происхождения R-матрицы и ее ролью в теории инвариантов узлов и теории квантовых групп. Очень важные для современной теоретической физики приложения R-матриц в теории интегрируемых моделей обсуждаются в спецкурсе “Анзац Бете” магистерской программы "Математика и математическая физика".
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение основ теории группы кос и конечномерных факторов ее групповой алгебры --- алгебры Ивахори-Гекке серии А и групповой алгебры симметрической группы. Освоение структурной теории квантовых матричных алгебр и основ теории их представлений.
Результаты освоения дисциплины

Результаты освоения дисциплины

  • Освоение алгебраической структуры алгебры Ивахори-Гекке серии А: построение линейного базиса, элементов Юциса-Мерфи, примитивных и центральных идемпотентов.
  • Получение навыка практической работы с конечномерными представлениями алгебры Гекке: матричная структура, построение проекторов по диаграммам Юнга, характеры центральных элементов.
  • Явное построение R-матричных представлений для примитивных идемпотентов, внедиагональных матричных единиц, умение работать с бакстеризованными элементами и разлагать представления в соответствии с диаграммой Брателли.
  • Умение вычислять R-след в R-матричных представлениях алгебры Гекке от любых ее элементов. Построение инвариантов узлов через бакстеризованные R-матрицы, вычисление R-следов по зацеплениям и построение инвариантов узлов.
  • Освоение аксиоматики алгебр Хопфа, уяснение смысла ко-операций для теории представлений.
  • Изучение основных свойств Пуассоновой алгебры функций, Гамильтоновых векторных полей и порождаемых ими потоков. Умение ограничить вырожденные скобки пуассона на листы слоения, построение симплектической структуры по невырожденной скобки и наоборот.
  • Освоение свойств скобки Склянина на алгебре функций на группе и ее выражение через классическую r-матрицу. Построение квантовой версии для случая sl(2), умение проверить плоскость квантования.
  • Изучение и практические навыки работы со скобками Пуассона-Ли и квадратичной скобкой Семенова-Тянь-Шанского. Умение доказывать совместность этих скобок на дуальном пространстве к алгебре Ли gl(n), квантование порожденного ими пучка скобок Пуассона --- алгебра уравнения отражений.
  • Освоение методов построения центра алгебры уравнения отражений. Изучение свойств симметрических функций, билинейных соотношений, матричного тождества Гамильтона-Кэли для квантовой матрицы. Спектральное расширение центра алгебры уравнения отражений.
  • Построение представления в базовом пространстве. Изучение структуры твистованной биалгебры в алгебре уравнения отражений. Освоение категории конечномерных представлений (категорные твисты, произведение представлений, разложение на неприводимые).
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Группа кос, ее геометрическое и алгебраическое представления.
    Конечномерные факторы группы кос и ее групповой алгебры: симметрическая группа, алгебры Ивахори–Гекке и Бирман–Мураками–Венцля.
  • Классификация неприводимых представлений алгебр Ивахори–Гекке.
    Подход к теории представлений в духе Окунькова-Вершика. Конструкция элементов Юциса-Мерфи, максимальной коммутативной подалгебры, примитивных идемпотентов. Спектр элементов Юциса-Мерфи в левом регулярном представлении.
  • R-матричные представления группы кос.
    R-матричные представления в тензорной алгебре фундаментального пространства. Примеры R-матриц GL(m,n), O(n) и Sp(n) типов.
  • Марковский след на алгебре Ивахори–Гекке.
    Косообратимые R-матрицы, конструкция R-следа. R-матричная техника. Приложения к теории инвариантов зацеплений и к теории квантовых спиновых цепочек.
  • Понятие об алгебрах Хопфа.
    Основные структуры алгебры Хопфа. Коумножение, коединица и антипод с точки зрения теории представлений. Двойственные алгебры Хопфа.
  • Квантование пуассоновой алгебры.
    Пуассонова структура на ассоциативной алгбере. Основные свойства скобок Пуассона. Примеры: алгебры функций на группе и матричной алгебре. Деформационное квантование,
  • Алгебра функций на группе и ее квантование.
    Скобка Склянина как пример R-матричной скобки Пуассона. Квантованная алгебра функций на группе: R-матричный подход (так называемая RTT-алгебра).
  • Алгебра функций на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n).
    Примеры скобок Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли gl(n). Квантование пучка скобок Пуассона, алгебра уравнения отражений с R-матрицей GL(n) типа.
  • Структура алгебры уравнения отражений.
    Алгебра уравнения отражений GL(n) типа как пример квантовой матричной алгебры. Структура алгебры уравнения отражений: характеристическая подалгебра, квантовая версия теоремы Гамильтона–Кэли, спектр квантовой матрицы.
  • Теория конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений GL(n) типа.
    Построение конечномерных разложимых представлений алгебры уравнения отражений с помощью косообратимой R-матрицы. Характеры центральных элементов.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • В течение семестра студентам предлагаются к самостоятельному разбору четыре листка с задачами. (неблокирующий)
  • Ответ на билет с 2 теоретическими вопросами и одной задачей (неблокирующий)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.5 * В течение семестра студентам предлагаются к самостоятельному разбору четыре листка с задачами. + 0.5 * Ответ на билет с 2 теоретическими вопросами и одной задачей
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Quantum groups and Lie theory, Pressley A., 2001
  • Введение в алгебру : основы алгебры : учебник для вузов, Кострикин А. И., 1994
  • Группы и алгебры Ли : алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, Бурбаки Н., Бахтурина Ю. А., 1976
  • Основные структуры и методы теории представлений, Желобенко Д. П., 2004
  • Современная геометрия : методы и приложения: учеб. пособие для вузов, Дубровин Б. А., Новиков С. П., 1979
  • Теория представлений : начальный курс, Фултон, У., Харрис, Дж., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Основные структуры современной алгебры, Бахтурин Ю. А., 1990
  • Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии, Фултон У., Горбульского М. Д., 2006
  • Универсальные обертывающие алгебры, Диксмье Ж., Бахтурина Ю. А., 1978