• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Теория функций комплексного переменного

Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3 модуль
Язык: английский
Кредиты: 3
Контактные часы: 2

Course Syllabus

Abstract

Курс призван дать студенту уверенное владение основными методами теории функций комплексного переменного. Для его успешного освоения студенту понадобятся знания теории дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных, а также базовые навыки решения простейших дифференциальных уравнений. В процессе работы над курсом студент познакомится с теорией интегрирования и дифференцирования аналитических функций, пройдет теорию простейших специальных функций, овладеет начальными навыками асимптотического анализа. Главный акцент курса - разбор большого числа задач и примеров, направленных на развитие практических навыков работы с функциями комплексного переменного. По окончании курса студент сможет свободно интегрировать в комплексной плоскости, рассчитывать регулярные ветви многозначных функций, а также строить конформные отображения и решать с их помощью двумерные задачи Дирихле. Студент также сможет работать с простейшими специальными функциями и научится строить асимптотические оценки неэлементарных функций в комплексной плоскости.
Learning Objectives

Learning Objectives

  • Цель освоения дисциплины "Теория функций комплексного переменного": • дать студенту уверенное владение основными методами теории функций комплексного переменного.
Expected Learning Outcomes

Expected Learning Outcomes

  • Знает методы интегрирования и дифференцирования функций комплексного переменного.
  • Умеет интегрировать и дифференцировать функции комплексного переменного.
  • Владеет методами интегрирования и дифференцирования функций комплексного переменного.
  • Знает теорему Коши, теорему о вычетах.
  • Умеет применять теорему Коши и теорему о вычетах.
  • Владеет методикой вычисления интегралов вычетами.
  • Знает лемму Жордана для вычисления интегралов.
  • Умеет применять лемму Жордана к вычислению интегралов.
  • Владеет методикой вычисления интегралов путем применения леммы Жордана.
  • Знает понятие многозначной функции, понятие римановой поверхности.
  • Умеет выделять регулярные ветви от многозначных функций.
  • Владеет методами выделения регулярных ветвей от многозначных функций.
  • Умеет интегрировать регулярные ветви от многозначных функций.
  • Владеет методами интегрирования регулярных ветвей от многозначных функций.
  • Знает уравнение Лапласа и конформные преобразования.
  • Умеет выполнять конформные преобразования.
  • Владеет методами решения уравнение Лапласа с использованием конформных преобразований.
  • Знает понятие асимтотического ряда.
  • Умеет применять формулу Стирлинга.
  • Владеет методом аналитического продолжения с помощью контр-члена.
  • Знает метод Лапласа, метод перевала.
  • Умеет применять метод перевала.
  • Владеет методикой вычисления интегралов методом перевала.
  • Знает уравнение Эйри для решения дифференциальных уравнений.
  • Умеет применять асимптотические ряды для решения дифференциальных уравнений.
  • Владеет методикой применения асимптотических рядов для решения дифференциальных уравнений.
Course Contents

Course Contents

  • Тема 1. Алгебра комплексных чисел. Интегрирование и дифференцирование функций комплексного переменного.
    Алгебра комплексных чисел. Геометрическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Примеры с тригонометрической формой. Экспоненциальная форма комплексного числа.Тождество Эйлера и примеры. Тождество Эйлера, примеры. Простейшие уравнение в комплексных числах. Простейшие уравнения в комплексных числах. Условия Коши-Римана. Условия Коши-Римана, примеры. Примеры функций комплексного переменного. Интегрирование, начало.
  • Тема 2. Теорема Коши. Ряд Лорана, типы сингулярностей и понятие о вычетах.
    Теорема Коши. Ряд Тейлора в комплексной плоскости. Ряд Лорана. Особые точки функции комплексного переменного. Применение теоремы Коши. Теорема о вычетах. Особые точки, примеры. Применение теоремы о вычетах. Применение теоремы о вычетах. Ряд Лорана и особые точки, пример.
  • Тема 3. Вычисление интегралов вычетами. Интегралы в смысле главного значения.
    Взятие интеграла вычетами. Понятие вычета на бесконечности. Вычет на бесконечности, окончание. Интегрирование вычетами. Интеграл от многозначной функции, первое знакомство. Лемма Жордана. Применение леммы Жордана к вычислению интегралов. Вычисление интегралов в смысле главного значения. Вычисление интегралов в смысле главного значения.
  • Тема 4. Многозначные функции и выделение регулярных ветвей.
    Многозначные функции, введение. Риманова поверхность. Выделение регулярных ветвей от степенных функций. Выделение регулярных ветвей от степенных функций. Выделение регулярных ветвей от степенных функций. Выделение регулярных ветвей от степенных функций. Выделение регулярных ветвей от логарифма. Выделение регулярных ветвей от логарифма.
  • Тема 5. Вычисление интегралов от многозначных функций.
    Две точки ветвления. Две точки ветвления (продолжение). Две точки ветвления (окончание). Интеграл с логарифмом. Интеграл с логарифмом (продолжение). Интеграл с логарифмом-2. Интеграл с логарифмом-2 (продолжение). Интеграл с логарифмом-3. Интеграл с логарифмом-3 (продолжение). Две точки ветвления-2. Две точки ветвления-2 (продолжение).
  • Тема 6. Конформные преобразования.
    Функции комплексной переменной и преобразования плоскости. Уравнение Лапласа и конформные преобразования. Примеры конформных отображений. Примеры конформных преобразований (продолжение). Концентрические цилиндры. Неконцентрические цилиндры. Цилиндр и плоскость.
  • Тема 7. Асимптотические ряды. Элементарные специальные функции и аналитическое продолжение.
    Асимтотический ряд как приближение определенного интеграла. Оценка остаточного члена и оптимальное суммирование. Пример: формула Стирлинга. Пример: функция Бесселя. Пример: функция Бесселя (продолжение). Гамма-функция Эйлера. Бета- и дигамма- функции. Дигамма функция и вычисление сумм. Аналитическое продолжение с помощью контр-члена. Аналитическое продолжение с дискретного множества точек с помощью дигамма-функции.
  • Тема 8. Метод перевала.
    Метод Лапласа. Метод перевала: стационарные точки. Метод перевала: линии наискорейшего спуска. Метод перевала: Гауссово интегрирование. Метод перевала: результат. Асимптотика функции Бесселя. Асимптотика полиномов Лежандра. Построение полного асимптотического разложения. Пример: функция Бесселя. Вклад концевых точек. Вклад концевых точек (продолжение). Седловая точка старшего порядка.
  • Тема 9. Уравнение Эйри: асимптотики. Явление Стокса.
    Уравнение Эйри. Интегральное представление решения. Асимптотики функции Эйри при действительных значениях аргумента. Асимптотики функции Эйри в комплексной плоскости. Контуры стационарной фазы и явление Стокса. Асимптотические ряды как решения дифференциальных уравнений. Оценка остаточного члена. Асимтотики решений в комплексной плоскости.
Assessment Elements

Assessment Elements

  • non-blocking Самостоятельная работа
  • non-blocking Экзамен (тест)
    Оценка за курс рассчитывается на странице курса на основании набранного студентом количества баллов, которые начисляются студенту за решение задач по курсу. Контрольные работы и экзамен по курсу проводятся в письменной форме на платформе Coursera (https://www.coursera.org/learn/complex-variable/home/welcome). Во время написания контрольных и экзаменационных работ студентам запрещено: общаться с кем-либо, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время контрольной работы или экзамена считается нарушение связи менее часа. Долговременным нарушением связи считается нарушение связи в течение часа и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в контрольной или экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Interim Assessment

Interim Assessment

  • Interim assessment (3 module)
    0.4 * Самостоятельная работа + 0.6 * Экзамен (тест)
Bibliography

Bibliography

Recommended Core Bibliography

  • Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления, Эйдерман, В. Я., 2002
  • Сборник задач по теории функций комплексного переменного : учеб. пособие для вузов, Волковыский, Л. И., 2006
  • Эйдерман В.Я. - Основы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления - Издательство "Физматлит" - 2002 - 256с. - ISBN: 978-5-9221-0283-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2146

Recommended Additional Bibliography

  • Методы теории функций комплексного переменного : учеб. пособие для вузов, Лаврентьев, М. А., 1973