2019/2020
Математические основы защиты информации
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Статус:
Маго-лего
Кто читает:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Преподаватели:
Артамкин Игорь Вадимович
Язык:
русский
Кредиты:
3
Контактные часы:
32
Программа дисциплины
Аннотация
Конечно, науки с таким названием не существует. С проблемой, вызвавшей появление в учебных планах некоторых ВУЗов этой странной аббревиатуры (МОЗИ) я столкнулся еще в середине 80-х, когда ко мне пришли знакомые радиотехники с просьбой о помощи. Они принесли статью из какого-то своего специализированного журнала, где на первых станицах говорилось, какую схему требуется сконструировать, в конце эта схема была нарисована, а между этим был десяток страниц абсолютно непонятной им математики ——- и это при том, что математическая подготовка радиотехников была одной из самых высоких среди инженерных специальностей. Причем надо сказать, что эта математика не были ни особенно трудной, ни сверхсовременной. Беда была в том, что это была совсем другая математика, та, которую «технари» традиционно относили к «этой вашей абстрактной башне из слоновой кости», искусству ради искусства, которое «никогда никому ни для чего толкового не пригодится». Пригодившиеся разделы вполне традиционной арифметики и алгебры и составляют теперь основу так экзотически называемого курса. Замечательно, что востребованным оказался один из красивейших сюжетов современной (по меркам трехтысячелетней истории) математики ——- речь идет о конечных полях, появившихся в начале 19 века в работах Галуа. Элементарному введению в эту тематику и будет посвящен наш курс. Будет рассказано также, как это все используется в радиолокации и системах опознавания «свой-чужой», но здесь мы ограничимся только принципиальными схемами применения: реальные системы и их технические реализации «в железе» и представляют собой уже отдельную область. Никаких предварительных знаний, выходящих за рамки школьной математики, от слушателей не требуется; очень приветствуются навыки устного счета и любовь к целым числам.
Цель освоения дисциплины
- Целями освоения дисциплины «Математические основы защиты информации»являетсяФормирование у слушателей ясного представления об основных алгебраических структурах, используемых в современной криптографии; Знакомство с использованием конечных полей для генерации периодических последовательностей;Углублённое изучение структуры конечных полей и умение проводить в них явные вычисления.
Планируемые результаты обучения
- Умение решать линейные диофантовы уравнения. Умение применять алгоритм Евклида.
- Знание простейших свойств кольца вычетов.
- Знакомство с простейшими алгебраическими структурами: группы, кольца, поля.
- Знание китайской теоремы об остатках, теоремы Эйлера и Ферма. Умение вычислять функцию Эйлера.
- Знакомство с мольцом многочленов.
- Умение строить фактор-кольца кольца многочленов и выполнять вычисления в них.
- Знание связи между фактор-кольцом кольца многочленов и сдвиговым регистром.
- Умение применять конечные поля для генерации периодических последовательностей
- Знание строения конечных полей
Содержание учебной дисциплины
- Диофантовы уравнения. Алгоритм Евклида.Изучение диофантовых уравнений и алгоритма Евклида.
- Кольца вычетов. Простейшие свойства
- Простейшие алгебраические структуры: группы, кольца, поля.
- Китайская теорема об остатках. Теоремы Эйлера и Ферма. Функция Эйлера.
- Кольцо многочленов.
- Построение фактор-колец кольца многочленов и вычисления в них.
- Фактор-кольца кольца многочленов и сдвиговый регистр
- Конечные поля и генерация периодических последовательностей
- Строение конечных полей.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)Итоговая оценка по курсу совпадает с накопленной; экзамен не предусмотрен. Накопленная оценка складывается из оценок за пятиминутные аудиторные проверочные работы (30%)и индивидуального письменного домашнего задания (70%), или же из решения за-дач повышенной сложности. Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного владения основными понятиями и умения пользоваться технически-ми (вычислительными) приемами, которыеизучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной сложности носят исследовательский характер и предполагают самостоятельное изучение студентами материала, не излагавшегося на лекциях. Решение некоторых (но не обязательно всех) задач повышенной сложности является достаточным условием получения отличной оценки.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2002
- Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2013
Рекомендуемая дополнительная литература
- Введение в алгебру : учебник для вузов, Кострикин, А. И., 1977
- Введение в алгебру. Ч.1: Основы алгебры, Кострикин, А. И., 2009
- Введение в алгебру. Ч.3: Основные структуры алгебры, Кострикин, А. И., 2009