• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Вычислительная математика

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 2, 3 модуль
Язык: русский
Кредиты: 5
Контактные часы: 76

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен изучению современных методов численного исследования с акцентом на задачах теории динамических систем (анализ локальных бифуркаций систем с непрерывным и дискретным временем, исследование некоторых сценариев перехода от порядка к хаосу).
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины является ознакомление студентов с методами вычислительной математики. Основной целью освоения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и навыков численного исследования различных математических проблем. Особое внимание будет уделено освоению методов численного исследования динамических систем, и численных методов проведения бифуркационного анализа.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знания особенностей этапов математического моделирования объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, а также методов и алгоритмов исследования этих моделей с учетом их возможной реализации на ЭВМ.
  • Правильно математически сформулировать вычислительную задачу, проанализировать её свойства, обоснованно выбрать оптимальный численный метод решения, проанализировать свойств алгоритма
  • Построение треугольника устойчивости
  • Наблюдение перехода к хаосу по сценарию Фейгенбаума, реализация численного алгоритма решения вычислительной задачи, анализирование полученных решений
  • Построение карт показателей Ляпунова. Анализ системы на основе построенных карт.
  • Численные исследования локальных и глобальных бифуркаций в системе Лоренца и системе Ресслера
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение. Классификация динамических систем.
    1. Классификация динамических систем 1.1.1 По типу времени •Системы с непрерывным временем (потоки) •Системы с дискретным временем (точечные отображения) 1.1.2. По размерности 1.1.3. По наличию дополнительных инвариантов (симметрий, первых интегралов) •Интегрируемые системы. •Неинтегрируемые системы с гладкой инвариантной мерой. •Неинтегрируемые системы без меры •Обратимые (реверсивные) системы. 1.2. Классификация аттракторов в потоковых и дискретных системах: состояния равновесия, периодические орбиты. 1.2 Понятие бифуркации в динамических системах. 1.4. Сведение потоковых систем к точечным отображениям с помощью построения секущей Пуанкаре. Численные методы конструирования отображения Пуанкаре.
  • Анализ локальных бифуркаций систем с дискретным временем
    2.1. Бифуркации неподвижных точек. 2.2. Методы численного поиска неподвижных и периодических точек и определение их мультипликаторов. 2.3. Продолжение неподвижных точек по параметрам. 2.4. Численное исследование двумерного отображения Эно и универсального отображения Спротта. Построения деревьев бифуркаций
  • Исследование некоторых сценариев перехода от порядка к хаосу. Классификация хаотических режимов
    4.1. Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. 4.2. Переход к хаосу в результате разрушения тора (инвариантной кривой для отображения) по сценарию Афраймовича-Шильникова. 4.3. Переход к хаосу в результате возникновения гомоклиники к седло-фокусу по сценарию Шильникова. 4.4 Переход к хаосу в соответствии со сценариями Гонченко-Шильникова (устойчивая точка -> удвоение периода -> возникновение гомоклинической структуры -> исчезновение регулярного аттрактора). 4.5 Классификация странных аттракторов: •Квазиаттракторы; •Гиперболические аттракторы; •Псевдогиперболические аттракторы
  • Двухпараметрический анализ динамических систем
    4.1. Построение бифуркационных кривых локальных бифурккаций периодических точек. 4.2. Построение карт динамических режимов. Анализ системы на основе построенных карт. 4.3. Построение карт показателей Ляпунова. Анализ системы на основе построенных карт. 4.4. Построение карт средней дивергенции (среднего якобиана). Анализ системы на основе построенных карт.
  • Анализ глобальных бифуркаций систем с дискретным временем
    3.1. Построение инвариантных многообразий седловых состояний равновесия (для потоков) и седловых циклов (для отображений). 3.2. Глобальные бифуркации, гомоклинические траектории и гомоклинические структуры. 3.3. Численные исследования локальных и глобальных бифуркаций в системе Лоренца и системе Ресслера. 3.4. Численные исследования трехмерного отображения Эно.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Лабораторная работа "Исследование перехода к хаосу в одномерных отображениях"
  • неблокирующий Лабораторная работа "исследование перехода к хаосу в двумерных отображениях"
  • неблокирующий Лабораторная работа "исследование перехода к хаосу в трехмерных потоках"
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.3 * Лабораторная работа "исследование перехода к хаосу в двумерных отображениях" + 0.4 * Лабораторная работа "Исследование перехода к хаосу в одномерных отображениях" + 0.3 * Лабораторная работа "исследование перехода к хаосу в трехмерных потоках"
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Методы качественной теории в нелинейной динамике, Ч. 2, пер. с англ. В. А. Осотовой под науч. ред. Д. В. Тураева, А. Л. Шильникова, 546 с., Шильников, Л. П., Шильников, А. Л., Тураев, Д. В., Чуа, Л. О., 2009
  • Устойчивость и бифуркации в системах с косимметрией: монография / Куракин Л.Г., Юдович В.И. - Ростов-на-Дону:Издательство ЮФУ, 2009. - 208 с. ISBN 978-5-9275-0663-7 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/556877

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Ильяшенко Ю.С. - Аттракторы и их фрактальная размерность - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 16с. - ISBN: 978-5-4439-2323-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/80117