Магистратура
2019/2020
Функциональные производные и функциональные интегралы в моделировании
Статус:
Курс обязательный (Математические методы моделирования и компьютерные технологии)
Направление:
01.04.02. Прикладная математика и информатика
Кто читает:
Департамент прикладной математики
Когда читается:
1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Будков Юрий Алексеевич
Прогр. обучения:
Математические методы моделирования и компьютерные технологии
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
76
Программа дисциплины
Аннотация
В рамках курса будут изложены основы математического аппарата функциональных интегралов по гауссовой мере и функциональных производных. Будет продемонстрировано применение аппарата к решению различных задач квантовой механики, квантовой статистики и классической статистической физики жидкостей и газов.
Цель освоения дисциплины
- Целями освоения дисциплины "Функциональные производные и функциональные интегралы в моделировании" являются: ознакомление студентов с понятием "функциональная производная", "функциональный интеграл" и их приложениями в задачах математического моделирования в различных областях, таких как классическая статистическая механика жидкостей и газов, квантовая механика и статистика и физика полимеров.
Планируемые результаты обучения
- знать: - понятия функционал, функциональная производная и функциональный интеграл; уметь: - правильно вычислять вариационные производные функционалов и гауссовые функциональные интегралы, - приближенно вычислять функциональные интегралы по гауссовой мере методом седловой точки и вариационным методом.
- владеть: - навыками применения знание функциональных методов при разработке математических моделей; - навыками выбора, дорабатывания и применения для решения исследовательских задач функциональных методов.
Содержание учебной дисциплины
- Понятие функционалаФункциональные степенные ряды. Функциональное дифференцирование. Функциональное преобразование Лежандра. Вариационный принцип в классической механике и теории поля. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
- Гауссовы функциональные интегралыПонятие о функциональном интегрировании. Гауссовы функциональные интегралы как формальное обобщение конечномерных гауссовых интегралов. Функция Грина гауссовой меры. Линейная замена переменных в гауссовом функциональном интеграле. Формальное вычисление функциональных детерминантов функций Грина гауссовой меры.
- Функциональные интегралы по гауссовой мереФункциональные интегралы по гауссовой мере. Приближенные методы вычисления функциональных интегралов по гауссовой мере. Теория возмущений. Метод седловой точки. Вариационный метод
- Функциональные методы в классической статистической механике жидкостей и газовФункциональные методы в классической статистической физике. Функциональная формулировка статистической физики в различных статистических ансамблях: представление статистических сумм и корреляционных функций в форме функциональных интегралов по гауссовой мере. Вычисление уравнений состояния жидкостей и газов
- Функциональное интегрирование в квантовой механике и квантовой статистикеФункциональное интегрирование в квантовой механике и квантовой статистике. Амплитуда перехода и матрица плотности квантовой частицы во внешнем потенциальном поле в форме функционального интеграла по гауссовой мере. Понятие о T-произведении. Вычисление амплитуды перехода и матрицы плотности гармонического осциллятора. Спектр гармонического осциллятора
- Функциональное интегрирование в статистической физике макромолекулФункциональное интегрирование в статистической физике полимеров. Модель гауссовой полимерной цепи. Функция распределения по расстоянию между концами гауссовой полимерной цепи во внешнем потенциальном поле в форме функционального интеграла по гауссовой мере. Аналогия с квантовой механикой. Функция распределения по радиусу инерции гауссовой полимерной цепи
Элементы контроля
- Средняя оценка за домашние задания
- Средняя оценка за аудиторную или домашнюю работу
- Экзамен
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.3 * Средняя оценка за аудиторную или домашнюю работу + 0.4 * Средняя оценка за домашние задания + 0.3 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Simon, Barry. Functional Integration and Quantum Physics / Barry Simon. – Academic Press, 1979
Рекомендуемая дополнительная литература
- Hirunyawipada, T., & Vahie, A. (2005). Cross-Functional Integration and New Product Performance: A Meta-Analysis. AMA Winter Educators’ Conference Proceedings, 16, 183–184. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=bsu&AN=19926400