Теория функций комплексного переменного

Специалитет 2019/2020

Статус: Курс обязательный (Компьютерная безопасность)

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Хакимуллин Евгений Робертович

Специальность: 10.05.01. Компьютерная безопасность

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 62

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках курсов «Математический анализ» и «Алгебра и геометрия».

Цель освоения дисциплины

приобретение знаний и умений в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования, формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления;
ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории аналитических функций комплексного переменного, гармонических функций, и операционного исчисления.

Планируемые результаты обучения

Знать основные определения, формулы и теоремы комплексного анализа и операционного исчисления.
Уметь определять возможности применения теоретических положений и методов теории функций теории функций комплексного переменного для постановки и решения конкретных прикладных задач; уметь решать основные задачи на вычисление интегралов при помощи вычетов, на разложение функций в ряды Тейлора и Лорана, применять методы операционного исчисления к решению дифференциальных и интегральных уравнений
Иметь навыки (приобрести опыт) использования стандартных методов теории функций комплексного переменного и операционного исчисления и их применения к решению прикладных задач.

Содержание учебной дисциплины

Комплексные числа. Последовательности комплексных чисел.
Определение комплексного числа. Действительная и мнимая части числа Сложение и умножение комплексных чисел. Мнимая единица, алгебраическая форма комплексного числа. Сопряженные числа, равенство комплексных чисел. Комплексная плоскость С. Операции вычитания и деления комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и операций сложения и вычитания. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Неравенства треугольника. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Теоремы о модуле и аргументе произведения и частного комплексных чисел. Возведение комплексного числа в натуральную степень. Формула Муавра. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Расстояние в C. Окрестность и проколотая окрестность точки. Ограниченное множество, предельная и изолированная точки множества. Замкнутое множество. Граничная и внутренняя точки множества. Открытое множество. Связное множество. Определение области. Односвязные и многосвязные области. Кривая Жордана. Предел последовательности комплексных чисел. Теорема о пределах действительной и мнимой частей последовательности. Критерий Коши для предела последовательности. Ограниченная и неограниченная последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Неограниченно возрастающая последовательность. Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана.
Аналитические функции.
Однозначная функция комплексного переменного. Многозначная функция. Геометрическая интерпретация понятия функции. Однолистное отображение и однолистная функция. Область определения и область однолистности функции. Обратная функция. Однозначная ветвь многозначной обратной функции. Предел функции комплексного переменного в конечной точке. Теорема о пределах действительной и мнимой частей функции. Критерий Коши для предела функции. Непрерывность функции. Теорема о действительной и мнимой части непрерывной функции. Предел и непрерывность функции в бесконечно удаленной точке. Непрерывность линейной комбинации, произведения и частного непрерывных функций комплексного переменного. Теорема о непрерывности сложной функции. Определение производной функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Различие понятий дифференцируемости и аналитичности функции в точке. Функция аналитическая в области. Теорема о функции обратной по отношению к аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Теорема Римана о конформном отображении. Производная линейной комбинации, суммы, произведения и суперпозиции функций комплексного переменного. Функции , , , области однолистности и отображения этих областей, осуществляемые функциями. Многозначные функции , , их главные значения и однозначные ветви. Определение точки разветвления (ветвления) многозначной функции. Обратные тригонометрические функции. Формулы вычисления производных основных элементарных функций. Дробно-линейная функция, круговое свойство и свойство сохранения симметричных точек. Ангармоническое отношение. Гармонические функции. Теорема о связи гармонических функций с аналитическими. Теорема о сопряженных гармонических функциях. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.
Комплексный криволинейный интеграл.
Определение и свойства интеграла по комплексному переменному. Теоремы о связи комплексного интеграла с криволинейным интегралом второго рода и с определенным интегралом. Теорема об интегрируемости непрерывной функции по спрямляемой кривой. Формула замены переменного интегрирования. Лемма об оценке модуля интеграла. Контурный интеграл. Теорема Коши для односвязной области. Обобщение теоремы Коши на случай многосвязной области. Следствие из теоремы Коши о независимости комплексного криволинейного интеграла от пути интегрирования. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Первообразная функции и неопределенный интеграл в комплексной области.Формула Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от аналитической функции. Формула интегрирования по частям для функций аналитических в односвязной области. Интегральная формула Коши. Формула среднего значения. Принцип максимума модуля аналитической функции. Интеграл типа Коши, его аналитичность, формула для -ой производной. Аналитичность производной аналитической функции. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Морера. Теорема Лиувилля. Основная теорема высшей алгебры.
Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
Числовые ряды с комплексными числами. Сумма ряда. Критерий Коши для комплексных рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Достаточные признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости ряда. Признак сравнения. Область сходимости и сумма функционального ряда. Равномерно сходящийся функциональный ряд. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Критерий Коши для равномерной сходимости функционального ряда. Теоремы о непрерывности суммы и почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда. Теорема Вейерштрасса о свойствах равномерно сходящегося функционального ряда, членами которого являются аналитические функции: аналитичность суммы ряда, теорема о почленном дифференцировании ряда, равномерная сходимость ряда из производных . Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда. Определение радиуса сходимости степенного ряда на основе признаков Даламбера и Коши. Равномерная сходимость степенного ряда в круге любого радиуса меньшего, чем радиус сходимости. Аналитичность суммы степенного ряда внутри круга сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда внутри круга сходимости. Выражение для коэффициентов степенного ряда через значения суммы ряда и ее производных в центре круга сходимости. Теорема Тейлора о разложении функции, аналитической внутри круга, в степенной ряд. Коэффициенты разложения в интегральном виде и радиус сходимости ряда Тейлора. Ряды Тейлора основных элементарных функций. Нули аналитической функции, порядок нуля. Теорема единственности определения аналитической функции. Аналитическое продолжение в комплексную область функций действительного переменного.
Изолированные особые точки. Теория вычетов и его приложения.
Область сходимости ряда Лорана. Теорема о разложении функции, аналитической в кольце, в ряд Лорана. Правильная точка функции. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции. Теоремы о поведении аналитической функции в окрестности устранимой особой точки, полюса и существенно особой точки. Теорема о связи между нулем и полюсом функции. Теорема Сохоцкого. Разложение аналитической функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Вычет аналитической функции в конечной изолированной особой точке. Формулы вычисления вычета в полюсе первого и произвольного порядка. Вычет в бесконечно удаленной точке. Основная теорема теории вычетов. Теорема о сумме вычетов. Вычисление интегралов по границе области при помощи вычетов. Лемма Жордана. Приложения теории вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов.
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа. Изображение Лапласа и оригинал. Сходимость интеграла Лапласа и область аналитичности изображения Лапласа. Изображение единичной функции Хевисайда, показательной и степенной функций. Основные теоремы операционного исчисления: линейность изображения, теорема подобия, теорема запаздывания, изображение производной, изображение интеграла, изображение свертки, дифференцирование изображения, интегрирование изображения, свойство смещения. Изображения элементарных функций. Определение оригинала по изображению. Формула Меллина. Теорема о достаточных условиях существования оригинала. Вычисление интеграла Меллина. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Элементы контроля

Итоговый экзамен
Итоговый экзамен подразумевает проверку знаний студентов по всему курсу.
Контрольная работа №1
Результат переписывания контрольной работы умножается на коэффициент 0.7, но первоначальная оценка не может ухудшиться.
Контрольная работа №2
Результат переписывания контрольной работы умножается на коэффициент 0.7, но первоначальная оценка не может ухудшиться.
Домашнее задание

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.166 * Домашнее задание + 0.5 * Итоговый экзамен + 0.167 * Контрольная работа №1 + 0.167 * Контрольная работа №2

Программа дисциплины