Аспирантура
2019/2020
Теория функций многих комплексных переменных
Статус:
Курс по выбору
Направление:
01.06.01. Математика и механика
Кто читает:
Департамент математики
Когда читается:
2-й курс, 1 семестр
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Широков Николай Алексеевич
Язык:
русский
Кредиты:
4
Контактные часы:
36
Программа дисциплины
Аннотация
Целью освоения дисциплины «Теория функций многих комплексных переменных» является развитие у аспирантов научного мышления в области изучения аналитических функций в многомерном случае, необходимых для научной деятельности. Задачи дисциплины: формирование представлений о классических и современных понятиях, теоретических положениях и методах исследования в области многомерных функций комплексной переменной, изучение классов функциональных пространств.
Цель освоения дисциплины
- развитие у аспирантов научного мышления в области изучения аналитических функций в многомерном случае, необходимых для научной деятельности
Планируемые результаты обучения
- Демонстрирует знание понятий голоморфных в области функциях, интегральной формулы Коши для полидиска
- Умеет раскладывать голоморфную в полидиске функцию в кратный степенной ряд
- Знает необходимые условия разрешимости системы Коши-Римана для пространства Сn, определяет область сходимости кратного степенного ряда
- Умеет раскладывать голоморфную область Рейнхарта функции в кратный степенной ряд, знает примеры области голоморфности
- Демонстрирует знание понятия плюрисубгармонической функции, может аппроксимировать плюрисубгармонические функции бесконечно гладкими
- Знает определение Р оболочки компакта, аналитические характеристики псевдовыпуклых областей, условие Леви для псевдовыпуклых областей с С2-гладкой границей
- Демонстрирует знание свойств аналитических функций, теоремы об описании группы когомологий порядка для областей Рунге
- Знает основные свойства ядер Бергмана, определение метрики Бергмана в области в Сn
- Демонстрирует способность к самостоятельному выбору и усовершенствованию адекватных задаче приемов исследования в выбранной области математики
- Имеет навыки использования готовых и разработки новых математических моделей, умеет проводить верификацию модели, оценивать ее достоверность адекватными методами
- Умеет анализировать теоретические и прикладные аспекты научных статей, грамотно формулировать и доказывать теоретические положения, приводить верифицирующие их примеры и контрпримеры, оформлять результаты исследования
Содержание учебной дисциплины
- Голоморфные в области функцииПонятие о голоморфных в области функциях. Интегральная формула Коши для полидиска. Бесконечная гладкости голоморфной в области функции. Многомерная теорема Вейерштрасса для голоморфных функций. Теорема Монтеля в многомерном случае. Разложение голоморфной в полидиске функции в кратный степенной ряд. Неравенства Коши для голоморфной в полидиске функции. Теорема о голоморфности функции, аналитичной по каждому переменному.
- Свойства функций нескольких комплексных переменныхНеобходимые условия разрешимости системы Коши-Римана для пространства Сn. Теорема Гартогса о продолжении голоморфных функций. Возможное продолжение голоморфной функции с границы. Область сходимости кратного степенного ряда. Многомерная лемма Абеля. Геометрическая характеристика областей сходимости. Области Рейнхарта. Разложение голоморфной области Рейнхарта функции в кратный степенной ряд. Определение области голоморфности. Контрпример Гартогса. Определение оболочки компакта. Лемма о подвижном полидиске. Аналитическая характеристика области голоморфности. Примеры области голоморфности. Области голоморфности областей Рейнхарта.
- Плюрисубгармонические функцииПлюрисубгармонические функции. Пример с применением области голоморфности. Условие плюрисубгармоничности для гладких функций. Аппроксимация плюрисубгармонических функций бесконечно гладкими.
- Псевдовыпуклые областиОпределение P оболочки компакта. Псевдовыпуклые области. Аналитическая характеристика псевдовыпуклых областей. Локальность свойства псевдовыпуклости.Условие Леви для псевдовыпуклых областей с С2-гладкой границией. Необходимость. Условие Леви для псевдовыпуклых областей с С2-гладкой границей. Достаточность.
- Свойства аналитических функцийОбласти Рунге. Характеристика областей Рунге. Свойство Кузена. Лемма Ока. Следствие из леммы Ока. Теорема о равномерном приближении полиномами функций на полиномиально выпуклом компакте. Группа когомологий области порядка r с комплексными коэффициентами. Теорема об описании группы когомологий порядка для областей Рунге.
- Классы функциональных пространствТеорема Бохнера-Мартинелли. Случай шара в Сn. Ядро Бергмана. Основные свойства ядер Бергмана. Воспроизводящее свойство ядер Бергмана. Ряд для ядра Бергмана. Изменение ядра Бергамана при биголоморфном отображении. Определение метрики Бергмана в области в Сn
Элементы контроля
- Аудиторная работаОценивается активность аспирантов в обсуждении вынесенных на рассмотрение вопросов, демонстрация знакомства с рекомендованной литературой. В ходе аудиторной работы аспирант должен продемонстрировать умение ведения обсуждения по теме занятия и оперативного вовлечения в сформированную дискуссию по поставленным вопросам, к научно-исследовательской деятельности в области фундаментальной и/или прикладной математики.
- Домашнее заданиеПисьменная работа. В домашнем задании аспирант должен продемонстрировать знание основных концепций дисциплины, в форме развернутых ответов на вопросы по конкретным разделам и темам, умение решать задачи, анализировать реальные или стилизованные ситуации, а также самостоятельно применять адекватные задаче методы исследований.
- ЭкзаменПроводится в форме устного экзамена. Экзаменационный билет содержит два вопроса. Ответ и время на подготовку – 80 мин. На экзамене аспирант должен продемонстрировать владение основными положениями теории функций многих комплексных переменных в форме устного ответа на экзаменационные вопросы по предложенной теме.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (I семестр)Накопленная оценка по дисциплине рассчитывается с помощью взвешенной суммы оценок за отдельные формы текущего контроля знаний следующим образом: Онакопленная= 0,7·ОДЗ + 0,3·ОАР, где ОДЗ – оценка за домашнее задание; ОАР – оценка за аудиторную работу. Способ округления накопленной оценки текущего контроля арифметический. Результирующая (итоговая) оценка по дисциплине (которая идет в диплом) рассчитывается следующим образом: Орезульт = 0,8·Онакопленная + 0,2·Оэкз, где Онакопленная – накопленная оценка по дисциплине; Оэкз – оценка за экзамен.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Привалов И.И. - Введение в теорию функций комплексного переменного - Издательство "Лань" - 2009 - 432с. - ISBN: 978-5-8114-0913-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/322
- Теория функций комплексной переменной: учебник / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов, - 6-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 336 с.: ISBN 978-5-9221-0133-2
Рекомендуемая дополнительная литература
- Narasimhan, R. (1985). Analysis on Real and Complex Manifolds. Amsterdam: North Holland. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=342519