Дополнительные главы качественной теории динамических систем

Аспирантура 2019/2020

Статус: Курс обязательный

Направление: 01.06.01. Математика и механика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Когда читается: 1-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Гуревич Елена Яковлевна, Починка Ольга Витальевна

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 38

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина относится к вариативной части подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре для направления 01.06.01 Математика и механика, профиля «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Читается на 2 году аспирантуры.

Цель освоения дисциплины

Изучение важных примеров систем, иллюстрирующих разнообразие динамических эффектов в математических моделях и современных результатов качественной теории динамических систем.

Планируемые результаты обучения

Аспирант владеет понятийным аппаратом и мето-дологией качественной теории динамических систем, и находит их адекватное приложение в естественно-научных задачах

Содержание учебной дисциплины

Фракталы и хаос
- Основы фрактальной геометрии - Конструктивные фракталы: фракталы и системы счисления; самоподобие; фрак-тальная размерность; фракталы Кантора, Коха, Минковского, Серпинского; общая схема по-строения конструктивных фракталов; анализ конструктивных фракталов (Коха, Минковского, Леви и др. ). - Системы итерированных функций (СИФ). Детерминированный и рандомизирован-ный алгоритмы построения СИФ. Динамические фракталы: одномерные комплексные эндо-морфизмы; множества Жулиа и Фату; фракталы Жулиа для квадратичных отображений и алго-ритмы построения. Фрактал Мандельброта. - Фракталы и хаос. Определение хаоса по Девани; примеры хаотических отображе-ний; хаос фракталов Жулиа; странный аттрактор в отображении Эно.
Символическая динамика
- Странные аттракторы динамических систем. Различные определения странного ат-трактора. Настоящие странные аттракторы и квазиаттракторы. Примеры странных аттракто-ров. - Аттрактор Лоренца, система Лоренца. Геометрическая модель Афраймовича-Быкова-Шильникова. Основные бифуркации в системе Лоренца, приводящие к возникнове-нию странного аттрактора. Модель Шимицу-Мариока. - Двумерное отображение Эно. Динамические свойства и бифуркации, странные ат-тракторы (квазиаттракторы). Странные аттракторы трехмерных отображений. Сценарии воз-никновения дискретных аттракторов Лоренца и спиральных аттракторов; реализация этих сценариев на примере трехмерных отображений Эно. Нерешенные задачи. - Символическая динамика. Описания траекторий остающихся в расширенной окрестности гомоклинической траектории. - Отображения типа «Подкова С. Смейла». Символическая динамика, как способ описания детерминированных систем со сложной динамикой. - Растягивающие эндоморфизмы окружности и тора. Символическая динамика и структурная устойчивость - Соленоиды в системах со сложной динамикой. От конструкции Вьеториса-Ван-Данцинга до конструкции Смейла-Вильямса. - Порядок Шарковского. Критерий возникновения хаоса в одномерных отображениях отрезка. - Семейство логистических отображений. Каскад бифуркаций удвоения. Сценарий появления хаотической динамики. Константы Фейгенбаума. - Континуумы Вады. Аттракторы каскадов поверхностей. Конструкция аттрактора Р.В. Плыкина диффеоморфизма двумерной сферы. - DA-отображения. Конструкция отображений тора с растягивающими аттракторами коразмерности один. - Экспансивность. Построение экспансивных гомеоморфизмов поверхностей, взаи-мосвязь с псевдоаносовскими отображениями. - Отображения на локально тривиальных расслоениях. Конструкция каскадов, явля-ющихся локально прямыми произведениями диффеоморфизмов Аносова и грубых преобразо-ваний окружности. Взаимосвязь с частично гиперболическими диффеоморфизмами. - Дикие сферы и кривые. Построение динамических систем с регулярной динамикой и с дико вложенными инвариантными многообразиями седловых периодических точек.

Элементы контроля

реферат
экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
0.5 * реферат + 0.5 * экзамен

Программа дисциплины