Специальная дисциплина

Аспирантура 2020/2021

Статус: Курс обязательный

Направление: 01.06.01. Математика и механика

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 2-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Широков Николай Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 1

Контактные часы: 2

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целью дисциплины является подготовка к сдаче и сдача кандидатского экзамена по специальности в соответствии с научной специальностью подготавливаемой научно-квалификационной работы (диссертации). Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, умениях и навыках, сформированных на двух предшествующих уровнях высшего образования в части математической подготовки.

Цель освоения дисциплины

подготовка к сдаче и сдача кандидатского экзамена по специальности в соответствии с научной специальностью подготавливаемой научно-квалификационной работы (диссертации)

Планируемые результаты обучения

Знает основные методы проведения научных исследований в областях математики, связанные с профилями (направленностью) «Вещественный, комплексный и функциональный анализ» и «Теория вероятностей и математическая статистика».
Умеет применять в исследовательской деятельности изученные методы; формулировать задачу исследования
Владеет навыками самостоятельной научно-исследовательской работы, в частности, поиска информации в научной литературе по конкретной теме исследования и смежным областям, ее обработки и анализа.
Имеет навыки использования готовых и разработки новых математических моделей, основанных на случайных данных. Умеет проводить верификацию модели, оценивать ее достоверность адекватными методами
Имеет навыки анализа исходных, в том числе случайных, данных и факторов и агрегации их взаимодействия в рамках математической модели

Содержание учебной дисциплины

Раздел 1 (для профиля 01.01.01 "Вещественный, комплексный и функциональный анализ"). Тема 1. Ортогональные полиномы
Ортогональные полиномы по конечной борелевской мере; минимальная емкость относительно носителя меры; борелевской мере; минимальная емкость относительно носителя меры функции Грина; связь с обычной емкостью и функцией Грина области.
Раздел 1 (для профиля 01.01.01 "Вещественный, комплексный и функциональный анализ"). Тема 2. Носители меры на компактах
Равновесные распределения минимальные относительно носителя меры на компактах; строение соответствующих функций Грина; минимальный носитель.
Раздел 1 (для профиля 01.01.01 "Вещественный, комплексный и функциональный анализ"). Тема 3. Теоремы об оценках
Общая теорема об оценке сверху произвольной последовательности полиномов через минимальную относительно носителя меры функцию Грина. Теорема о реализации верхней оценки для ортогональных по мере полиномов. Оценка снизу для произвольных ортогональных полиномов через классическую функцию Грина. Оценка снизу на компакте частичного произведения ортогонального полинома. Оценка для старших коэффициентов ортогональных по мере полиномов. Построение меры, для которой реализуется нижняя оценка асимптотике ортогональных по этой мере полиномов. Построение примера меры, для ортогональных полиномов, для которой в асимптотике имеются строгие неравенства. Локализация нулей ортогональных полиномов. Пример меры, сосредоточенной на полуокружности. Связь между слабым пределом вероятностных мер, построенных по нулям ортогональных полиномов, и асимптотикой старших коэффициентов этих полиномов.
Раздел 2 (для профиля 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика»). Тема 1. Диффузионные процессы
Диффузионные процессы как обобщение броуновского движения. Причины и источники необходимости введения и изучения диффузионных процессов. Стохастическое уравнение Эйнштейна-Смолуховского. Определение диффузионных процессов А.Н. Колмогорова. Диффузионные процессы как решения стохастических дифференциальных уравнений. Понятия марковского процесса и переходной вероятности марковского процесса. Выражение конечномерных распределений марковского процесса через начальное распределение и переходную вероятность. Определение диффузионного процесса. Формулировки и доказательства достаточных условий диффузионности. Решение стохастического дифференциального уравнения как марковский процесс. Условия, при которых диффузионные процессы являются решением стохастических дифференциальных уравнений. Связь коэффициентов стохастического дифференциального уравнения с коэффициентами сноса и диффузии. Однородные диффузионные процессы и отвечающие им стохастические дифференциальные уравнения. Ввероятностное решение задачи Коши (решение уравнения теплопроводности) и задачи Дирихле.
Раздел 2 (для профиля 01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика»). Тема 2. Распределение функционалов от броуновского движения
Общий подход к вычислению распределений функционалов от броуновского движения. Доказательство результатов, позволяющих вычислять распределение интегральных функционалов от броуновского процесса (формула Фейнмана-Каца) и функционалов инфимума и супремума броуновского процесса. Примеры использования. Метод вычисления условных распределений функционалов при условии, что конец траектории фиксирован (вычисления распределений функционалов от броуновского моста). Распределения функционалов в фиксированный момент времени. Подход к вычислению распределений функционалов от броуновского движения, остановленного в момент выхода на границу интервала. Применение в теории страхования (вычисление вероятностей разорения) и в финансовой математике. Теорема о замене меры (преобразование Гирсанова), ее приложения. Вывод результатов о распределении функционалов от броуновского движения с линейным сносом.

Элементы контроля

Кандидатский экзамен
Экзамен состоит из ответа на билет, который включает один вопрос из общего раздела программы по профилю и два вопроса из раздела по теме диссертационного исследования аспиранта.
Самостоятельная работа
Кандидатский экзамен
Экзамен состоит из ответа на билет, который включает один вопрос из общего раздела программы по профилю и два вопроса из раздела по теме диссертационного исследования аспиранта.
Самостоятельная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
Оценка уровня знаний (баллы) Каждый вопрос оценивается по пятибалльной шкале. Итоговая оценка выставляется по 5-бальной шкале по следующему принципу пересчета: "Отлично" - 5 баллов (по 5-балльной шкале); "Хорошо" - 4 балла (по 5-балльной шкале); "Удовлетворительно" - 3 балла (по 5-балльной шкале); "Неудовлетворительно" 1-2 балла (по 5-балльной шкале).

Программа дисциплины