Практикум по математическому анализу 1

2016/2017

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Никитин Алексей Антонович, Савостьянов Антон Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 2

Контактные часы: 30

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный курс формирует глубокое представление об основных понятиях, теоремах и инструментах математического анализа. Наибольшее внимание уделяется темам исследования функции (пределы и непрерывности функций одной и нескольких переменных, дифференциальное и интегральное исчисления). Программа проиллюстрирована большим количеством примеров, может рассматриваться в качестве дополнения к основному курсу математического анализа. Рассматриваются задачи повышенной сложности

Цель освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Практикум по математическому анализу» являются • развитие математического кругозора студентов, • выработка у студентов навыков решения конкретных задач, требующих исследования функций и вычисления связанных с ними величин.

Планируемые результаты обучения

Выводит необходимые и достаточные признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами. Находит область сходимости функционального ряда и радиуса сходимости степенного ряда.
Вычисляет интегралы для различных классов функций. Применяет формулу интегрирования по частям и производит при необходимости различные замены. Применяет формулу Ньютона-Лейбница. Интерпретирует геометрический смысл определенного интеграла.
Интерпретирует геометрический смысл двойного интеграла по произвольной области. Изменяет порядок интегрирования, переходит от двойного интеграла к повторному. Вычисляет двойные интегралы.
Вычисляет пределы от различных функций в точке и на бесконечности, раскрывает различного вида неопределенности.
Вычисляет производные от функций, заданные явно, неявно, параметрически. Применяет производные при исследовании функции одной переменной и построении ее графика. Анализирует функциональные зависимости в связи с теоремами дифференциального исчисления функций одной переменной.
Исследует квадратичную форму второго дифференциала на знакоопределенность . Выявляет необходимые и достаточные условия локального экстремума функций многих переменных. Строит функцию Лагранжа и находит множители Лагранжа в задачах на условный экстремум.
Определяет тип ДУ первого порядка и подбираеи способ его решения. Ставит и решает задачу Коши для ДУ первого порядка. Понижает порядок ДУ высших порядков. Применяет метод неопределенных коэффициентов при решении ЛДУ высших порядков с правой частью специального вида
Строит и анализирует линии уровня функции двух переменных. Вычисляет частные и полне производные.
уметь доказывать базовые теоремы и применять методы дисциплины для решения различных задач, в том числе возникающих в других дисциплинах
знать основные понятия и теоремы математического анализа и дифференциальных уравнений, типичные примеры и контрпримеры, а также методы решения типовых задач

Содержание учебной дисциплины

Теория пределов и непрерывных функций одной переменной
(Литература по теме: [1], т.1, гл. 1, §§ 3 - 8, [3], гл. 1, §§ 5 – 9, с.68-149). Числовые последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательно¬сти. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о вынужденном пределе. Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенности. Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений. Односторонние пределы, их связь с двусторонними. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Неопределенности. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы . Сравнение функций, о-символика. Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность основных элементарных функций. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши). Критерий непрерывности монотонной функции на промежутке. Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке.
Дифференциальное исчисление для функций одной переменной
(Литература по теме: [1], т.1, гл. 1, §§ 9 – 14 , [3], гл. 1, §§ 10 – 15, с. 150-200). Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке. необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные функций, графики которых заданы параметрически. Понятие гладкой кривой, касательный вектор к гладкой кривой в точке. Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум. Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема Ферма). Основные теоремы о дифференцируемых функциях на отрезке (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши ). Правило Лопиталя. Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных элементарных функций. Применения для приближенных вычислений. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия для точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Определение глобального максимума (минимума) функции одной переменной в области ее определения.
Дифференциальное исчисление для функций многих переменных
(Литература по теме: [1], т.1, гл. 2, [3], гл. 2, с.237-324). Понятие метрического пространства, окрестностей точки, предельных и внутренних точек, открытых и замкнутых множеств в нем. Примеры. Понятие n-мерного евклидова пространства и метрики в нем. неравенство треугольника. Сферические и прямоугольные окрестности точки, эквивалентность систем сферических и прямоугольных окрестностей. Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые, открытые, компактные множества. Примеры. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Непрерывность элементарных функций многих переменных. Свойства непрерывных на компакте функций (теоремы Вейерштрасса). Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной на связном множестве функции. Определение частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Первое и второе необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Понятие и уравнение касательной плоскости к графику функции двух переменных в точке. Понятие дифференциала (первого) функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Производная по направлению для функций двух и трех переменных. Градиент функций двух и трех переменных в точке. Понятие неявной функции, определяемой уравнением. Терема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции. Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Экстремумы функций многих переменных (абсолютный, условный, локальный, глобальный). Необходимое условие локального абсолютного экстремума. Достаточное условие локального абсолютного экстремума. Условия знакоопределенности квадратичной формы. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум, Необходимое условие локального условного экстремума, его геометрическая интерпретация. Достаточное условие. Нахождение экстремумов непрерывной функции на компакте.
Интегральное исчисление для функций одной переменной
(Литература по теме: [1], т.1, гл. 3, [3], гл. 3, 325-412). Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции, определенной на промежутке. Замена переменных и формула интегрирования по частям. Таблица интегралов. Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций. Понятие интегральной суммы для функции, заданной на отрезке, и определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла (интеграл единицы, линейность, интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, инерционность, интегрируемость на подотрезках, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции, Интеграл с переменным верхним пределом. Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Понятие квадрируемости и площади плоского множества. Множества площади (меры) ноль, свойства. Необходимое и достаточное условие квадрируемости плоского множества. Теорема о квадрируемости и площади криволинейной трапеции. Понятие о спрямляемости и длине дуги кривой. Теорема о спрямляемости и длине дуги гладкой кривой. Понятие несобственных интегралов первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Понятия абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла. Замена переменных и формула интегрирования по частям для несобственных интегралов. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для несобственных интегралов от положительных функций. Эталонные интегралы. Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла первого рода.
Интегральное исчисление для функций многих переменных
(Литература по теме: [1], т.2, гл. 6, §§ 44 – 52, [3], гл.5, §§ 42 – 44, с.489-537 , [5], гл. X – XI,§§45-47, 50,51, с. 446-510). Понятие интегральной суммы для функции двух переменных, определенной на замкнутом квадрируемом множестве. Понятие двойного интеграла для функции двух переменных. Необходимое условие интегрируемости функции двух переменных. Суммы Дарбу, их свойства. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции двух переменных. Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства двойного интеграла (интеграл единицы, линейность, интегрируемость произведения интегрируемых функций, аддитивность, инерционность, интегрируемость на квадрируемых подмножествах, свойства, выражаемые неравенствами, теоремы о среднем, интегрируемость модуля интегрируемой функции, неравенство Коши-Буняковского). Теорема о сведении двойного интеграла к повторному и ее применение для вычисления двойного интеграла. Замена переменных в двойных интегралах. Переход к полярным координатам в двойных интегралах. Понятие кубируемости и объеме множества и пространстве. Множества объема (меры) ноль, их свойства. Необходимое и достаточное условие кубируемости множества в пространстве. Понятие интегральной суммы для функции трех переменных, определенной на замкнутом кубируемом множестве. Понятие тройного интеграла для функции трех переменных. Необходимое условие интегрируемости функции трех переменных. Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства тройного интеграла. Теорема о сведении тройного интеграла к повторному и ее применение для вычисления тройного интеграла. Замена переменных в тройных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам в тройных интегралах. Обобщение на n-мерный случай. Понятие интегральной суммы для функции трех переменных, определенной на дуге гладкой кривой. Понятие криволинейного интеграла первого рода для функции трех переменных. Необходимое условие интегрируемости функции трех переменных. Основные классы интегрируемых функций. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода. Теорема о сведении криволинейного интеграла первого рода к определенному. Понятие криволинейного интеграла второго рода по дуге гладкой кривой. Зависимость от ориентации дуги. Сведение криволинейного интеграла второго рода к определенному. Формула Грина.
Предел и непрерывность функции одной переменной
Множества, операции объединения, пересечения, дополнения. Отображения множеств (функции). Числовая прямая, расстояние между точками числовой прямой. Промежутки, окрестность точки, проколотая окрестность точки. Числовые функции. Область определения, множество значений функции. Элементарные функции. Предел функции одной переменной на бесконечности. Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические свойства пределов. Свойства операции предельного перехода. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение функций. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Эквивалентные бесконечно малые. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва функции, их классификация. Арифметические свойства непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Понятие производной функции одной переменной в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости функции одной переменной с ее непрерывностью. Экономическая интерпретация производной. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Формула логарифмического дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно. Формула Лейбница для производных произведения двух функций. Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке и их свойства. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Точка локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие ее существования (теорема Ферма). Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных функций. Использование формулы Тейлора для представления и приближенного вычисления значений функции. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия точки локального экстремума для функции одной переменной. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее графика.
Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды
(Литература по теме: [1], том 1, гл. 4; [3], гл. 4, с. 416-484; [5], гл. VIII, IX, с.383-443). Понятие числового ряда, сходящегося ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости ряда. Признаки сравнения в непредельной и предельной формах для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные положительные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные последовательности и ряды. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Задача о представлении функции функции в виде суммы степенного ряда. Теорема о единственности представления. Ряд Тейлора функции. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора для заданной функции к заданной функции. Ряды Тейлора-Маклорена основных элементарных функций.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных
Арифметическое пространство . Расстояние между точками пространства. Неравенство треугольника. Окрестности точек, предельные и внутренние точки. Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые и открытые множества. Понятие функции многих переменных. Линии равного уровня. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Понятие частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью и существованием частных производных. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Касательная плоскость к графику функции двух переменных в точке. Уравнение касательной плоскости. Дифференциал функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Градиент функции в точке и производная по направлению. Геометрический смысл градиента функции в точке, его свойства. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Понятие неявной функции. Теорема о существовании и непрерывности неявной функции, определяемой одним уравнением. Теорема о дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции. Повторное дифференцирование неявной функции. Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия их существования и дифференцируемости. Матрица Якоби. Якобиан.
Интегрирование простейших дифференциальных уравнений
Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Понятие общего решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли. Экономические задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения старших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Экономические задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений второго порядка. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительная и мнимая часть комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Решение квадратных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Линейные разностные уравнения.
Интегральное исчисление функции одной переменной
Понятие первообразной функции одной переменной на интервале. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Замена переменной и формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Понятие о рациональной функции. Элементарные (простейшие) дроби I и II рода. Правильные и неправильные рацинальные дроби. Выделение из неправильной рациональной дроби целой части в виде многочлена. Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Понятие интегральной суммы. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Понятие определенного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения несобственных интегралов от положительных функций.
Классические методы оптимизации
Локальный экстремум функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Знакоопределенность второго дифференциала. Достаточное условие локального экстремума функции многих переменных. Теорема об экстремуме неявной функции, определяемой уравнением и системой уравнений. Применение в экономических задачах. Условный экстремум функции многих переменных. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума. Исследование достаточных условий условного экстремума. Применение в экономических задачах.
Интегрирование функций многих переменных
Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Замена переменных в двойном интеграле. Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Якобиан преобразования. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла.
Непрерывные и дифференцируемые функции одной переменной
Множества и операции над ними (объединение, пересечение, разность). Объеди-нение и пересечение семейств множеств. Основные тождества алгебры множеств. Понятие о числовых множе-ствах. Упорядоченные пары и декартово произведение множеств. Соответствия и отображения (функции). Способы задания функций. Образы и прообразы точек и множеств при заданном отображении. Композиция функций. Обратимость функции и обратная функция. Сюръекция, инъекция, биекция. Экономические примеры. Язык множеств, соответствий и функций как универсальный язык построения моделей в науке, в т.ч. в экономике, [10]. Множество N натуральных чисел. Принцип математической индукции. Последовательности как функции, определенные на множестве натуральных чисел или его начальном отрезке. Числовые последовательности. Последовательности, заданные рекуррентно. Линейные рекуррентные последовательности. Арифметические и геометрические прогрессии. Биномиальные коэффициенты и формула бинома Ньютона. Неравенство Бернулли. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Экономические примеры. Дискретные финансовые потоки; формулы начисления простых и сложных процентов, формула аннуитета, [7]. Числовые множества Z и Q. Множество R действительных чисел. Аксиома непрерывности (полноты). Числовая прямая. Отрезки, интервалы и другие промежутки числовой прямой. Окрестности. Длина отрезка на числовой прямой. Верхние и нижние грани, точные верхние и нижние грани числовых множеств. Принципы супремума и инфимума. Понятие о мощности множества. Конечные, счетные и несчетные множества. Счетность счетного объединения счетных множеств. Счетность множества конечных последовательностей натуральных чисел. Теорема Кантора. Несчетность множества действительных чисел. Числовые функции одной действительной переменной. Четные, нечетные, периодические функции. Области возрастания и убывания, экстремумы. Монотонные и ограниченные функции. Основные элементарные функции. Элементарные функции. Естественная область определения. Область значений. Многочлены. Деление многочленов с остатком. Разложение многочленов на множители. Рациональные функции. Представление рациональной функции в виде суммы простых дробей. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции: основные соотношения. Экономические примеры: стандартные функции, используемые в экономических моделях и в эконометрике; функции полезности (благосостояния) и задачи их оптимизации, функции спроса Торнквиста, функции общего и среднего дохода, прибыли фирмы, функции общих и средних издержек, [5,8,9]. Элементы математической логики. Понятие о формальном математическом языке. Термы, элементарные высказывания, логические связки и кванторы. Высказывания общего вида. Логическое следствие и эквивалентность. Вывод высказывания из множества высказываний. Математические утверждения (аксиомы, теоремы и т. д.) с логической точки зрения. Необходимые и достаточные условия. Прямая, обратная, противоположная прямой и противоположная к обратной теоремы, взаимосвязь между ними. Экономические примеры: аксиоматический подход в экономике, [8]. Предел последовательности. Единственность предельного значения. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, последовательности с пределами ±∞. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Арифметические свойства пределов последовательностей. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Теорема «о двух полицейских». Предел lim┬(n→∞) (1+1/n)^n=e. Экономические примеры. Экономическая интерпретация числа e: предельный случай непрерывного начисления процентов, [5]. Критерий Коши сходимости последовательности. Понятие фундаментальной последовательности. Расходимость последовательности гармонических чисел. Подпоследовательности и частичные пределы. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано — Вейерштрасса. Нижний и верхний пределы последовательности. Лемма Гейне-Бореля.
Непрерывные и дифференцируемые функции многих переменных
Множество n-мерных строк R^n, сложение строк и умножение строк на вещественные числа. Норма элемента в R^n, геометрическая интерпретация нормы. Декартовы координаты точек плоскости и пространства. Расстояние между элементами в R^n, как норма их разности. Окрестность точки. Ограниченные множества. Внутренние и граничные точки множества. Граница множества. Открытые, замкнутые множества. Компакты. Открытые и замкнутые множества, задаваемые системами уравнений и неравенств. Последовательности в R^n и их пределы. Основные свойства открытых и замкнутых множеств. Характеризация компактов. Лемма Больцано-Вейерштрасса в n-мерном случае. Экономические примеры. Бюджетное множество, технологическое множество, [7]. Векторные функции R^n→R^m. Числовые функции R^n→R, функции R→R^n и R^n→R^n. Понятие линий и поверхностей уровня числовой функции нескольких действительных переменных. Элементарные функции нескольких действительных переменных. Естественные области определения. Прямые и гиперплоскости в R^n. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества. Теоремы об отделимости. Экономические примеры. Многомерные экономические модели. Задачи классификации, метод опорных векторов в задачах кредитного скоринга (постановка задачи), [7 – 12]. Предел векторной функции. Теорема о связи предела функции с пределами ее компонент. Предел по направлению. Теорема о вычислении предела функции двух переменных в полярных координатах. Непрерывные векторные функции. Теорема о покоординатной непрерывности непрерывной векторной функции. Непрерывность элементарных числовых нескольких действительных переменных. Непрерывные кривые и поверхности и их параметризации. Линейно связные множества. Свойства непрерывных функций. Теорема о прообразах открытых и замкнутых множеств при непрерывном отображении. Экономические примеры. Производственная функция (Кобба-Дугласа, Леонтьева и др.), функции полезности, [7 – 12]. Свойства функций, непрерывных на компактном множестве: теорема Вейерштрасса, теорема об образе компактного множества при непрерывном отображении. Образ линейно связного множества. Понятие равномерно непрерывной на множестве функции. Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на компактном множестве. Экономические примеры. Достижимость максимальных и минимальных значений функций полезности при естественных ограничениях, [7 – 12]. Частные производные числовых функций нескольких действительных переменных. Эластичность функции нескольких действительных переменных по фиксированной переменной. Понятие дифференцируемой функции нескольких действительных переменных; первый дифференциал. Необходимое условие дифференцируемости функции. Примеры дифференцируемых и недифференцируемых функций. Достаточное условие дифференцируемости. Обобщение: дифференцируемость (по Фреше) векторной функции (отображения) из X⊆R^n в R^m, понятие производной и дифференциала векторной функции. Экономические примеры. Интерпретация частных производных производственных функций. Пример производной производственной сложной функции (капитал и труд зависят от времени). Производственные функции и функции полезности со свойством CES, [7 – 12]. Теорема о дифференцируемости сложной векторной функции. Правило вычисления дифференциала сложной функции. Свойство функториальности матрицы Якоби, инвариантность первого дифференциала. Понятие касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности уровня. Геометрический смысл дифференциала. Градиент и его основные свойства. Производная по направлению. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции многих переменных. Понятие стационарных и седловых точек. Экономические примеры. Задачи максимизации функции полезности и минимизации затрат (случай нескольких переменных), [7 – 12]. Частные производные функции многих переменных высших порядков. Теорема об условиях равенства смешанных производных. Дифференциал второго порядка функции многих переменных. Матрица Гессе. Дифференциалы высших порядков.
Экстремумы функций многих переменных. Интегрирование функций одной переменной
Задача на условный экстремум для функции многих переменных: определение точки условного экстремума функции многих переменных при наличии связей в виде равенств. Метод подстановки решения задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума для дифференцируемой функции и дифференцируемых функций уравнений связи. Экономические примеры. Экономический смысл множителей Лагранжа. Понятие теневых цен. Задачи оптимизации в экономике, [7 – 12]. Достаточное условие существования условного экстремума для дифференцируемой функции и дифференцируемых функций уравнений связи. Условия связи дифференциалов. Теорема об окаймляющем гессиане. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на компакте, метод параметризации границ. Экономические примеры. Задачи выбора товаров, максимизирующего функцию полезности при бюджетном ограничении; двойственная (хиксианская) задача минимизации затрат потребителя на приобретение набора благ при условии ограничений снизу на полезность наборов, спрос Хикса; задача минимизации издержек при заданном объеме выпуска продукции, [7 – 12]. Зависимость безусловных и условных экстремумов от параметров. Теорема об огибающей для условных экстремумов. Экономические примеры. Лемма Хоттелинга, [12]. Элементы выпуклого анализа. Свойства выпуклых (вогнутых) функций: о выпуклости области определения, о выпуклости положительной линейной комбинации выпуклых функций, о непрерывности выпуклых функций, о максимуме (минимуме) выпуклых (вогнутых) функций. Критерии выпуклости непрерывно дифференцируемой функции. Экстремальные свойства выпуклых функций. Экономические примеры. Выпуклые задачи в экономике, [8]. Задачи оптимизации с ограничениями типа неравенств. Условия Каруша — Куна — Таккера. Экономические примеры. Выпуклые задачи в экономике (продолжение). Метод опорных векторов в задачах кредитного скоринга (решение задачи), [8]. Многозначные отображения. Теорема Какутани о неподвижной точке. Теорема Неймана о минимаксе. Седловые точки. Связь с условиями Куна-Таккера. Экономические примеры. Теоретико-игровой подход в экономике, [8,10,12]. Понятие первообразной и неопределенного интеграла функции. Свойства не-определенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов основных функций. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Примеры. Экономические примеры. Задача о нахождении функции с заданной характеристикой изменения роста (населения, производства продукции и пр.), изменения цены, [7 – 12]. Интегрирование рациональных функций: понятие рациональной дроби, правильная и неправильная рациональные дроби, выделение целой части в неправильной дроби, понятие простых дробей, теорема о разложении на множители многочлена с действительными коэффициентами, теорема о разложении правильной дроби в сумму простых дробей, интегрирование простых дробей. Понятие рационализируемого интеграла. Интегрирование рациональнотригонометрических функций, частные случаи интегрируемости рационально-тригонометрических функций. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций. Определенный интеграл. Определение определенного интеграла Римана: понятия разбиения, мелкости разбиения, интегральной суммы. Необходимое условие интегрируемости функции. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу. Примеры неинтегрируемых функций. Экономические примеры. Экономические модели: инвестиции и капитал, чистая приведенная стоимость (NPV) инвестиций в непрерывном случае, [7 – 12]. Некоторые классы интегрируемых функций: интегрируемость непрерывных функций, интегрируемость монотонных ограниченных функций. Критерий интегрируемости по Лебегу, понятие множества меры нуль. Примеры вычисления определенных интегралов по определению. Свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (4-й модули)
Многомерные пространства. Функции нескольких переменных. Частные производные. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Неявные функции, определяемые одним уравнением. Условный экстремум функции нескольких переменных с одним и с несколькими условиями связи.
Интегрирование функций многих переменных. Ряды
Кратные интегралы. Мотивация введения кратного интеграла: геометрические и экономические задачи. Понятие измеримого множества и его меры в R^n (меры Жордана), свойства меры Жордана. Понятие множества меры нуль. Критерий измеримости множества. Понятие кратного интеграла по измеримому множеству (разбиение множества, мелкость разбиения, выборка точек в разбиении, интегральная сумма). Критерии интегрируемости, классы интегрируемых функций. Свойства кратных интегралов. Вычисления кратных интегралов с помощью повторных. Примеры. Замена переменных в кратном интеграле. Экономические примеры. Экономические задачи (объем выпуска при за-данной пространственной плотности размещения производства, объем трафика при заданной плотности распределения источников и т.д.), [7 – 12]. Числовые ряды. Частичные суммы, сходимость ряда и его сумма. Необходимое условие сходимости и его отрицание. Примеры. Свойства сходящихся числовых рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда и его отрицание. Гармонический ряд. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признаки сходимости рядов с не-отрицательными членами: признак ограниченности, признаки сравнения, интегральный признак, признак Даламбера, радикальный признак Коши. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, оценка остатка. Экономические примеры. Задача о нахождении рыночной цены бессрочной облигации. Задача об оценке прибыли от инвестиций, [7]. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная, на множестве и равномерная сходимости последовательностей и рядов. Условия равномерной сходимости функциональных рядов, признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости, формула Коши-Адамара. Равномерная сходимость степенного ряда, его дифференцируемость и интегрируемость. Ряд Тейлора. Условия представимости функции своим рядом Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Примеры. Приложения рядов к приближенным вычислениям.
Числовые, функциональные и степенные ряды
Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для знакопостоянных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды с положительными членами. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора (Маклорена). Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной (3-й модули)
Числовые последовательности и действия над ними. Ряды. Понятие функции вещественной переменной, область определения и множество значений. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций: функции одного порядка малости, эквивалентные функции, бесконечно малые функции более высокого порядка. Непрерывность функции в точке. Производная. Использование асимптотических формул и дифференциалов в приближённых вычислениях. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя. Многочлен и ряд Тейлора. Исследование графиков функций.
Интегральное исчисление (3-й и 4-й модули)
Первообразная функция. Интегральные суммы и определенный интеграл, их геометрический смысл. Интеграл с переменным верхним пределом. Элементы теории меры: понятия длины кривой, площади поверхности и объема тела. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.

Элементы контроля

Ответы на вопросы
самостоятельные работы

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.4 * Ответы на вопросы + 0.6 * самостоятельные работы

Программа дисциплины