• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2016/2017

Научно-исследовательский семинар "Теория Морса"

Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Введение в алгебраическую топологию» являются: • Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных методах алгебраической топологии. • Освоение слушателями понятия фундаментальной группы и умения ее вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях. • Освоение слушателями понятия симплициальных отображений и симплициальных гомологий и умения их вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях. • Формирование у слушателей представления об алгебраических характеристиках топологических пространств и умения доказывать инвариантность этих характеристик при гомеоморфизмах и гомотопиях. • Освоение слушателями понятия комбинаторных многообразий, ориентируемости, эйлеровой характеристики. • Освоение слушателями умения применять топологические инварианты для различения топологических пространств. • Освоение слушателями понятия когомологий, умножения в когомологиях и умения их вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях. • Формирование у слушателей представления о клеточных гомологиях и основных результатах теории Морса. Изучение данной дисциплины базируется на базовых курсах алгебры, геометрии, математической логики и математического анализа, топологии. Желательно, но не необходимо также знание примеров топологических пространств, многообразий и топологических групп, таких как сферы, проективные пространства, грассманианы, ортогональные группы.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Формирование у слушателей ясного представления о базисных понятиях и основных методах алгебраической топологии, представления о клеточных гомологиях и основных результатах теории Морса, представления об алгебраических характеристиках топологических пространств и умения доказывать инвариантность этих характеристик при гомеоморфизмах и гомотопиях
  • Освоение слушателями понятий: фундаментальной группы, симплициальных отображений и симплициальных гомологий, когомологий, умножения в когомологиях и умения их вычислять в простейших и первых нетривиальных ситуациях, а также понятия комбинаторных многообразий, ориентируемости, эйлеровой характеристики
  • Освоение слушателями умения применять топологические инварианты для различения топологических пространств
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Получить общее представление об алгебраических инвариантах топологических пространств. Изучить основные топологические и алгебраические методы алгебраической топологии. Овладеть техникой вычисления основных алгебро-топологических характеристик топологических пространств в простейших и первых нетривиальных ситуациях
  • Быть готовым использовать основные принципы и методы алгебраической топологии в последующей профессиональной деятельности в качестве научного сотрудника или преподавателя вуза
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Повторение основных понятий и результатов общей топологии, используемых в курсе
  • Графы, поверхности, симплициальные комплексы, симплициальные отображения
  • Пути, гомотопии путей, фундаментальная группа, накрытия, вычисление фундаментальной группы
  • Когомологии симплициальных комплексов. Умножение в когомологиях
  • Клеточные комплексы и клеточные гомологии. Многообразия. Двойственность Пуанкаре. Элементы теории Морса. Неравенства Морса
  • Цепные комплексы векторных пространств, гомологии с коэффициентами в поле, гомологии симплициальных комплексов, гомологии с коэффициентами в абелевой группе
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание
  • неблокирующий Письменный экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Письменный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Элементы теории гомологий, Прасолов В. В., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Начальный курс топологии в листочках : задачи и теоремы, Вербицкий, М. С., 2017