2017/2018

Научно-исследовательский семинар "Финансовая математика"

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Апенко Сергей Михайлович, Колесников Александр Викторович

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 76

Программа дисциплины

Аннотация

Курс представляет собой введение в стохастический анализ с изложением базовых понятий и фактов финансовой математики (арбитраж, фундаментальные теоремы, теория Блэка – Шоулза). В курсе ставится задача освоения техники стохастического дифференцирования и теории мартингалов, с включением довольно сложных в техническом отношении, но важных для приложений результатов (уравнения Колмогорова, теорема Гирсанова). Поэтому, частично материал курса будет представлен обзорно. В курс также включен обзор других разделов теории вероятностей, имеющих финансовые приложения (распределения Леви, копулы и др.). Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • Математический анализ • Теория вероятностей • Теория вероятностей-2

Цель освоения дисциплины

• Знакомство с основными приложениями теории вероятностей, анализа, статистики и эконометрики в финансовой математике.

Планируемые результаты обучения

• Знает об основных приложениях теории мартингалов, стохастического анализа, оптимизационных методов и эконометрики в финансовой математике
• Умеет решать различные конкретные прикладные задачи, пользуясь случайных процессов и оптимизационных методов
• Имеет навыки применения вероятностной и аналитический техники в конкретных моделях финансовой математики

Содержание учебной дисциплины

• Моделирование финансовых активов
  Базовые факты из теории вероятностей (обзорно). Моменты и кумулянты. Важные семейства распределений. Центральная предельная теорема. Безгранично делимые распределения. Теорема Леви – Хинчина. Корреляции и копулы. Основные модельные процессы. Винеровский процесс. Процессы Леви. Дробное броуновское движение.
• Теория арбитража для дискретного времени
  Опционы и другие ценные бумаги. Одношаговая биномиальная модель. Многошаговая биномиальная модель и формула CRR. Элементы теории мартингалов (дискретное время). Выпуклые множества. Теорема об отделимости. Первая фундаментальная теорема. Полнота рынка. Вторая фундаментальная теорема. Модель CRR и сходимость к модели Блэка – Шоулза. Мартингалы и моменты остановки.
• Модели с непрерывным временем
  Мартингалы. Марковские моменты, неравенства. Стохастический интеграл. Стохастический интеграл как мартингал. Формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения. Уравнение теплопроводности. Марковское свойство решений СДУ. Уравнение Колмогорова. Теорема Гирсанова. Модель Блэка – Шоулза.
• Финансовая эконометрика

Элементы контроля

• Накопленная оценка
  Для студентов, посещавших лекции с течение семестра, округление итоговой оценки производится в большую сторону, для посетивших менее половины лекций - в меньшую.
• Итоговый экзамен

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.4 * Итоговый экзамен + 0.6 * Накопленная оценка

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Белопольская Я.И. - Стохастические дифференциальные уравнения. Приложения к задачам математической физики и финансовой математики: учебное пособие - Издательство "Лань" - 2019 - 308с. - ISBN: 978-5-8114-2966-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/107272
• Ширяев А.Н. - Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. Т. 1: Факты, модели - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 440с. - ISBN: 978-5-4439-2391-5 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/80132

Рекомендуемая дополнительная литература

• Ширяев А.Н. - Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. Т. 2: Теория - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 464с. - ISBN: 978-5-4439-2392-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/80133