Научно-исследовательский семинар "Проективная алгебраическая геометрия 1"

2019/2020

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Артамкин Игорь Вадимович, Тихомиров Александр Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 30

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественно научных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра и магистра направления подготовки «Математика» Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • базовые курсы алгебры, геометрии и топологии (1 и 2 годы бакалавриата); Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и результатами из курсов: • дифференциальная геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); • алгебраическая геометрия (I-IV модули, 3, 4 год бакалавриата); Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • свободное владение основными понятиями алгебры, геометрии и топологии • дифференцирование и интегрирование функций нескольких переменных Основные положения дисциплины могут быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: • Алгебраическая геометрия • Топология • Дифференциальная геометрия • Математическая физика (теория поля).

Цель освоения дисциплины

Формирование и развитие у слушателей геометрических представлений при освоении различных разделов алгебраической геометрии.
Овладение слушателями основными понятиями и конструкциями проективной геометрии, такими как линейные проекции и сечения, проективные и перспективные отображения.
Освоение техники линейных рядов при изучении отображений многообразий в проективное пространство.
Знакомство с классическими проективными многообрзазиями, такими как детерминантали, грассманианы, многообразия Веронезе, многообразия Сегре, норммногообразия, и методами их построения средствами проективной геометрии

Планируемые результаты обучения

Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач язык проективных вложений и отображений, линейных рядов и их базисных множеств.
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач линейных сечений и проекций, многообразий хорд и линейных оболочек .
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач проективную геометрию детерминанталей, грассманианов, многообразий Веронезе и Сегре, норммногообразий и их проекций и сечений .
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач полярное отображение, гессианы и их применение к описанию отображений гиперповерхностей в двойственное проективное пространство.
Студент должен научиться использовать при решении конкретных задач индексы пересечения кривых на плоскости, их вычисление посредствомм правил Цейтена.

Содержание учебной дисциплины

Первоначальные свойства проективного пространства; классические задачи проективной геометрии, связанные с теоремами Дезарга, Паппа, Паскаля, Брианшона.
Коники на проективной плоскости. Пространство коник, поверхность Веронезе и кубический симметроид в пространстве коник, их интерпретация в терминах семейств коник.
Интерпретация евклидовой и других геометрий в терминах проективной геометрии; задачи евклидовой, решаемые средствами проективной геометрии.
Геометрия кривых на проективной плоскости, теорема Безу, индексы пересечения плоских кривых, правила Цейтена.

Элементы контроля

Решение домашних заданий 1
Письменная работа 1
Решение домашних заданий 2
Письменная работа 2
Итоговая письменная работа

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (7-10 задач по каждой теме). Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного владения основными понятиями и умения пользоваться техническими (вычислительными) приемами, которые изучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной сложности отмечается звёздочками. Решение таких задач не является необходимым условием для получения отличной оценки, но существенно способствует получению таковой. Оценивается решение задач в процентной доле общего числа решённых в течение семестра задач (включая сюда и задачи со звёздочкой) от общего количества выданных в течение семестра задач без звёздочек. Таким образом, результат текущего контроля может быть выше 100% Экзамен и зачёт представляют собою письменные работы продолжительностью 4 часа каждая. В каждой работе студентам предлагается 8 задач. Для получения 100% результата достаточно правильно решить 6 задач. При решении большего числа задач оценка увеличивается. За полное решение каждой задачи студент получает 10 баллов, окончательный результат экзамена оценивается в процентной доле набранного количества баллов по отношению к 60. Промежуточная оценка за первый модуль вычисляется по формуле Max(150, E+H)/15 где E - общее количество набранных в зачётной работе баллов в процентах от 60, а H – общее количество решённых домашних задач (включая задачи со звёздочками) в процентах от общего количества выданных в первом модуле задач без звёздочек. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно решить 75% домашних заданий и 5 задач из зачётной работы. Итоговая оценка за второй модуль вычисляется по аналогичной формуле Max(150, E+H)/15 где E - общее количество набранных в экзаменационной работе баллов в процентах от 60, а H – общее количество решённых домашних задач (включая задачи со звёздочками) в процентах от общего количества выданных в течение двух модулей задач без звёздочек. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно решить 75% домашних заданий и 5 экзаменационных задач. В диплом ставится результирующая итоговая оценка по учебной дисциплине. Оценка текущего контроля равна процентной доле общего числа решённых в течение семестра задач (включая сюда и задачи со звёздочкой) от общего количества выданных в течение семестра задач без звёздочек. Таким образом, результат текущего контроля может быть выше 100%. Итоговый зачёт представляют собою письменную работу продолжительностью 4 часа, на которой студентам предлагается 8 задач. Для получения 100% результата достаточно правильно решить 6 задач. При решении большего числа задач оценка увеличивается. За полное решение каждой задачи студент получает 10 баллов, окончательный результат экзамена оценивается в процентной доле набранного количества баллов по отношению к 60. Итоговая оценка по дисциплине ставится по 10-балльной системе и вычисляется по формуле Max(150, E+H)/15 где E - общее количество набранных в зачётной работе баллов в процентах от 60, а H – общее количество решённых домашних задач (включая задачи со звёздочками) в процентах от общего количества выданных в первом модуле задач без звёздочек. Таким образом, для получения максимальной оценки 10 достаточно решить 75% домашних заданий и 5 задач из зачётной работы. В диплом ставится итоговая оценка, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

Программа дисциплины